【整理】主席树初识（别人的图）

【CLJ】

• 所谓的“持久化数据结构”，就是保存这个数据结构的所有历史版本，同时利用它们之间的共用数据减少时间和空间的消耗。

【Regina】

• 主席树是一种离线数据结构，是由很多棵线段树组成的。

 

• 第i棵线段树存的是前i个数的信息：

          每一个线段存数字的出现次数（因此建树之前要离散化）。

 

• n棵线段树会MLE。

          但是我们发现第i棵线段树和第i-1棵线段树是非常相似的，有许多结点完全相同，因此可以借用之前的结点，没必要新建结点。

 

• 建树方法建下图：

 （看看图基本上就能理解了）

序列为 4 1 3 2（离散之后，数字是大小排名）

【图一】：看编号，我们发现圆圈里值发生变化时，会产生新的编号（即新的节点）。

即每次最多新产生logn个节点，空间就是省在了整理。

 【图二】：结果就产生了这样一棵树，这棵树可以前缀和操作。

• 那么如果要询问i-j之间数字出现的次数怎么办呢？

           因为每一棵线段树的区间都是相同的，所以要求l-r之间的数字的出现次数只要用前r位出现的次数减去前l-1位出现的次数，就是ans

       

• 但是如果有修改操作怎么办？

 

•  如果沿用上面的做法，那么修改操作是O(nlogn)的，查询是O(1)的，修改要花好长时间。。。

 

前缀和联想到了树状数组，那么将前缀和用树状数组维护的话修改是O(logn*logn)，查询时O(logn)，查询的时间虽然变长，但是修改的时间缩短许多！！

 

注意：

• 函数式线段树的数组要开大一点！！

【参考】

1. 简洁的解释：http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/41910615
2. 具体的操作：https://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4749042.html