【整理】素数【快速乘法改进】

一：【普通筛法】

        从2一直除到n（或者√n），有可以整除的不是素数。

 

二：【Eratosthenes筛法】

     如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

 

三：【Eular质数筛法】

 

Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。这个算法有一个冗余的地方：

     比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。

Eular筛法做了改进，避免了这样的情况，规定每个合数只用其【最小的一个质因数去筛】,其时间复杂度是O(n)的。

     

      这个算法有两层循环，第一层遍历2到n之间的所有自然数i，看看它是不是质数，如果是，则把i放进prime数组中。第二层循环是对所有未来的数进行筛选。对于当前正在处理的i，显然它乘以任何一个已经找到的素数的结果肯定是和数，它们将会被剔除。

     【核心】：当i可以被某个已经找到的质数整除的时候，循环退出，不再进行剔除工作。

        比如i=93：筛去93*2(j1)，筛去93*3(j2)，但是93%3==0，所以退出。因为93/3=31，93*5(j3)=（31*5）*3=155*3,所以155会再筛一次。即是：i%p[j]==0，则i*p[j+x]必然能用(i/p[j])*(i+y)筛去。此时break保证了每个合数只用其最小的一个质因数去筛。

 

 （所以最后测试结果是再1，000，000或者10，000，000左右的数据种，【Eular效率是埃式的3倍到4倍左右】，10，000，000的数据前者会跪，后者不会，数据越大，差异越明显；当然，数据小时，前者效率可能高一些）。

 

四：【Miller-Rabin质数测试】

   前面三种是预处理1-n的所有素数，但是有时只需要判断某个数是不是素数，于是：

这种质数算法是基于费马小定理的一个扩展，首先我们要知道什么是费马小定理：

   【费马小定理】：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
   将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。

该测试被称为【Fermat测试】。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。

      与Fermat测试相比，多了一个【二次探测定理】：

    如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，令u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的【Miller-Rabin测试】。

但一次MR测试仍然有一定的错误率。为了使我们的结果尽可能的正确，我们需要进行多次MR测试，这样可以把错误率降低。

 

值得一提的是，Miller-Rabin每次测试失误的概率是1/4；进行S次后，失误的概率是4^(-S)。

每一次单独的MR测试，需要O(log n)的时间。一共要进行S次MR测试，也就是O(Slog n)。

这样就能够在很短的时间内完成质数的测试了。当然如果你还是不放心，可以把S的值设定的更高一点。

这样就能够顺利的找到大质数了。

Wiki中，介绍了一些【小技巧】：比如如果n<2^64，只用选取a={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}做测试即可

 （参考：http://www.matrix67.com/blog/archives/234）

 以上是初步整理。

算法4的代码（【快速幂和快速乘法】）：

poj1811：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory>
#include<cstring>
#define ll long long
#define q_pow  pow_mod
#define q_mul mult_mod
using namespace std;
ll qmul(ll a,ll b,ll Mod)
{
    a%=Mod; b%=Mod;
    ll ans=0,tmp=a;
    while(b){
        if(b&1) {
            ans+=tmp;
            if(ans>Mod) ans-=Mod;
        }
        tmp<<=1;b>>=1;
        if(tmp>Mod) tmp-=Mod;
    } return ans;
}
ll qpow(ll a,ll t,ll Mod)
{
    ll ans=1; a%=Mod;
    while(t){
        if(t&1) ans=qmul(ans,a,Mod);
        a=qmul(a,a,Mod); t>>=1;
    } return ans;
}
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=qpow(a,x,n),last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        ret=qmul(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;} int S=20;
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}
ll fac[200];int tot;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(a==0) return 1;
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while (b) {ll t=a%b; a=b; b=t;}
    return a;
}

ll Pollard_rho(ll x,ll c){
    ll i=1,x0=rand()%x,y=x0,k=2;
    while (1){
        i++;
        x0=(qmul(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k) y=x0,k+=k;
    }
}
void find(ll n){           //递归进行质因数分解N
    if(Miller_Rabin(n)){
        fac[++tot] = n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    find(p); find(n/p);
}
int main()
{
    int T;ll n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        if(Miller_Rabin(n)) printf("Prime\n");
        else {
            tot=0; find(n); ll Mn=fac[1];
            for(int i=2;i<=tot;i++) Mn=min(Mn,fac[i]);
            printf("%lld\n",Mn);
        }
    }
    return 0;
}