BZOJ-3105: 新Nim游戏 (nim博弈&线性基)

pro：

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

 

Input

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过10⁹的正整数，即各堆的火柴个数。

 

 

sol：不会，但是看了题解觉得很简单系列。先手留给后手的状态，不能转移到状态为0。  我们知道线性无关：对于任意向量，不能被其他向量表示。 即，线性基没有异或和为0的子集。   那么我们留给对方一个最大的线性即，即可。

先排个序，然后建立线性基。 （证明需用到拟阵，我不会）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=2000;
ll ans,sum; int a[maxn],base[maxn];
int main()
{
    int N; scanf("%d",&N);
    rep(i,1,N) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
    sort(a+1,a+N+1);
    for(int i=N;i>=1;i--){
        int tmp=a[i];
        for(int j=30;j>=0;j--){
            if(a[i]&(1<<j)){
                if(!base[j]){
                    base[j]=a[i];
                    break;
                }
                else a[i]^=base[j];
            }
        }
        if(a[i]) ans+=tmp;
    }
    printf("%lld\n",sum-ans);
    return 0;
}