回文树&后缀自动机&后缀数组
- KMP，扩展KMP和Manacher就不写了，感觉没多大意思。
- 之前感觉后缀自动机简直可以解决一切，所以不怎么写后缀数组。
- 马拉车主要是通过对称中心解决问题，有的时候要通过回文串的边界解决问题，这个时候回文树就用到了，又好写，又强大。
- 之前整理过一篇后缀自动机的。感觉还要整理一下，顺便把回文树，后缀数组也整理一下
- 很久没写专题了，如果有空，把回文自动机也学习一下。
一：回文树
前置技能： 马拉车，KMP。 其实也没关系，就是对比一下。
马拉车是利用对称的思想，得到每个点或者空格为对称中心的最长回文。
KMP有失配指针，回文树也有，指向失配后最长的回文串。
前置理论： 一个字符串的本质不同的回文串最多有|S|个。所以，回文树的空间和时间是线性的。
保存信息：我们把每个回文串对应到一个节点里。
struct node{ int len,num,fail,son[26],dep; }t[maxn];
其中，len是回文串的长度；num是出现次数；son是儿子指针，用于匹配，看是否能增加长度；dep是指这个回文串失配次数，即以它的最后一个字符为尾的回文串个数； fail是失配指针；
功能：我们可以得到所有的回文串； 所有本质不同的回文串； 回文串的出现次数； 以某个位置结尾的回文串个数；
实现：首先，初始化两个节点1号和0号，分别表示奇数偶数长度的回文串。 他们都指向1号节点，而1号节点的长度设置尾-1，这样的话，确保每个位置结尾的回文串长度至少是-1+2=1；
void init() { tot=last=1; t[0].len=0; t[1].len=-1; t[0].fail=t[1].fail=1; }
完整代码：
struct PAT { struct node{ int len,num,fail,son[26]; }t[maxn]; int last,n,tot,s[maxn]; void init() { memset(t,0,sizeof(t)); tot=last=1; n=0; t[0].len=0; t[1].len=-1; t[0].fail=t[1].fail=1; s[0]=-1; } int add(int c){ int p=last; s[++n]=c; while(s[n]!=s[n-1-t[p].len]) p=t[p].fail; if(!t[p].son[c]){ int v=++tot,k=t[p].fail; while(s[n]!=s[n-t[k].len-1]) k=t[k].fail; t[v].fail=t[k].son[c]; t[v].len=t[p].len+2; t[v].num=t[t[v].fail].num+1; t[p].son[c]=v; } last=t[p].son[c]; return t[last].num; } }T;
例题一：HDU5658：CA Loves Palindromic
题意：给定字符串S，|S|<1000；Q次询问区间不用本质的回文串数量。
思路：以每个左端点建立回文树即可。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=1010; char c[maxn]; int bb[maxn]; int N,Q,fcy[maxn][maxn]; struct PT { struct node{ int fail,len,son[26]; }t[maxn]; int tot,last; void init() { memset(t,0,sizeof(t)); t[0].fail=t[1].fail=1; t[1].len=-1; last=1; tot=1; bb[0]=-1; bb[1]=-2; } void add(int s,int n) { int p=last; bb[n]=s; while(bb[n-t[p].len-1]!=bb[n]) p=t[p].fail; if(!t[p].son[s]) { int v=++tot,k=t[p].fail; t[v].len=t[p].len+2; while(bb[n-t[k].len-1]!=bb[n]) k=t[k].fail; t[v].fail=t[k].son[s]; t[p].son[s]=v; } last=t[p].son[s]; } }T; void solve() { rep(i,1,N){ T.init(); rep(j,i,N) { T.add(c[j]-'a',j-i+1); fcy[i][j]=T.tot-1; } } scanf("%d",&Q); rep(i,1,Q){ int L,R; scanf("%d%d",&L,&R); printf("%d\n",fcy[L][R]); } } int main() { int T;scanf("%d",&T); while(T--){ memset(c,0,sizeof(c)); scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); solve(); } return 0; }
例题二：HDU - 5157 ：Harry and magic string
题意： 多组输入，每次给定字符串S（|S|<1e5），求多少对不相交的回文串。
思路：可以用回文树求出以每个位置结尾的回文串数，那么累加得到前缀和； 倒着再做一遍得到每个位置为开头的回文串数，乘正向求出的前缀和即可。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define rep2(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int maxn=100010; struct PAT { struct node{ int len,num,fail,son[26]; }t[maxn]; int last,n,tot,s[maxn]; void init() { memset(t,0,sizeof(t)); tot=last=1; n=0; t[0].len=0; t[1].len=-1; t[0].fail=t[1].fail=1; s[0]=-1; } int add(int c){ int p=last; s[++n]=c; while(s[n]!=s[n-1-t[p].len]) p=t[p].fail; if(!t[p].son[c]){ int v=++tot,k=t[p].fail; while(s[n]!=s[n-t[k].len-1]) k=t[k].fail; t[v].fail=t[k].son[c]; t[v].len=t[p].len+2; t[v].num=t[t[v].fail].num+1; t[p].son[c]=v; } last=t[p].son[c]; return t[last].num; } }T; ll ans,sum[maxn];char c[maxn]; int main() { while(~scanf("%s",c+1)){ int N=strlen(c+1); T.init(); ans=0; rep(i,1,N) sum[i]=sum[i-1]+T.add(c[i]-'a'); T.init(); rep2(i,N,1) ans+=sum[i-1]*T.add(c[i]-'a'); printf("%lld\n",ans); } return 0; }
题意：累计i*k的和，如果[i,j],[j+1,k]都是回文串;
思路：统计以j为结尾的回文串个数numj，以及他们的长度和addj； 以j+1为首....；那么这个位置的贡献就是(numj*(j+1)-addj)*(numj+1*j+addj+1);
(此题要节约空间，所以不要开longlong的数组。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define rep2(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int maxn=1000002; const int Mod=1e9+7; struct PAT { struct node{ int len,num,fail,son[26],add; }t[maxn]; int last,n,tot,s[maxn]; void init() { memset(t,0,sizeof(t)); tot=last=1; n=0; t[0].len=0; t[1].len=-1; t[0].fail=t[1].fail=1; s[0]=-1; } void add(int c){ int p=last; s[++n]=c; while(s[n]!=s[n-1-t[p].len]) p=t[p].fail; if(!t[p].son[c]){ int v=++tot,k=t[p].fail; while(s[n]!=s[n-t[k].len-1]) k=t[k].fail; t[v].fail=t[k].son[c]; t[v].len=t[p].len+2; t[v].num=t[t[v].fail].num+1; t[v].add=(t[t[v].fail].add+t[v].len)%Mod; t[p].son[c]=v; } last=t[p].son[c]; } }T; int ans,sum[maxn];char c[maxn]; int main() { while(~scanf("%s",c+1)){ int N=strlen(c+1); T.init(); ans=0; rep(i,1,N) { T.add(c[i]-'a'); sum[i]=(1LL*T.t[T.last].num*(i+1)-T.t[T.last].add)%Mod; } T.init(); rep2(i,N,1){ T.add(c[i]-'a'); ans+=(ll)(T.t[T.last].add+1LL*T.t[T.last].num*(i-1)%Mod)*sum[i-1]%Mod; ans%=Mod; } printf("%d\n",ans); } return 0; }
例题四：HDU - 5421：Victor and String
题意：多组输入，开始字符串为空，支持4中操作： 1，在字符串首加字符； 2，在字符串尾加字符； 3，查询字符串不同本质的回文串个数； 4，查询回文串个数总和
思路：因为支持首尾加入，所以和常规的回文树有些不同。 参考了YYB的博客。 发现首尾互相影响，当且仅当整个字符串是回文串。 其他情况两头正常加即可。
也就是现在有两个last，除了完全对称，其他操作都一样。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define rep2(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int maxn=100010; struct PAT { struct node{ int len,num,fail,son[26]; }t[maxn]; int n,tot,s[maxn<<1],L,R,suf,pre; ll ans; void init() { memset(t,0,sizeof(t)); memset(s,-1,sizeof(s)); tot=1; L=100000; R=L-1; suf=pre=0; ans=0; t[1].len=-1; t[0].fail=t[1].fail=1; } void add(int c,int n,int &last,int op){ int p=last; s[n]=c; while(s[n]!=s[n-op-op*t[p].len]) p=t[p].fail; if(!t[p].son[c]){ int v=++tot,k=t[p].fail; while(s[n]!=s[n-op*t[k].len-op]) k=t[k].fail; t[v].fail=t[k].son[c]; t[v].len=t[p].len+2; t[v].num=t[t[v].fail].num+1; t[p].son[c]=v; } last=t[p].son[c]; ans+=t[last].num; if(t[last].len==R-L+1) suf=pre=last; } }T; int main() { int N; while(~scanf("%d",&N)){ T.init(); int opt; rep(i,1,N){ scanf("%d",&opt); char s[3]; if(opt==1){ scanf("%s",s); T.add(s[0]-'a',--T.L,T.pre,-1); } else if(opt==2){ scanf("%s",s); T.add(s[0]-'a',++T.R,T.suf,1); } else if(opt==3) printf("%d\n",T.tot-1); else printf("%lld\n",T.ans); } } return 0; }
例题五：Gym - 101981M：（南京） Mediocre String Problem
题意：给字符串S和T，累计（i结尾的回文串个数）*（i+1开始匹配T的长度）。
思路：第一部分用回文树，第二部分exkmp。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=1000010; char S[maxn],T[maxn]; struct PT { struct in{ int dep,fail,len,son[26]; }p[maxn]; int cnt,last; void init() { //memset(p,0,sizeof(p)); cnt=last=1;p[0].dep=p[1].dep=0; p[0].fail=p[1].fail=1; p[0].len=0; p[1].len=-1; } int add(int c,int n) { int np=last; while(S[n]!=S[n-1-p[np].len]) np=p[np].fail; if(!p[np].son[c]){ int v=++cnt,k=p[np].fail; p[v].len=p[np].len+2; while(S[n]!=S[n-p[k].len-1]) k=p[k].fail; p[v].fail=p[k].son[c]; p[np].son[c]=v; //这一句放前面会出现矛盾，因为np可能=k p[v].dep=p[p[v].fail].dep+1; } last=p[np].son[c]; return p[last].dep; } }Tree; int N,M,num[maxn],Next[maxn],extand[maxn]; ll ans; void getnext(){// next[i]: 以第i位置开始的子串与T的公共前缀长度 int i,length=strlen(T+1); Next[1]=length; for(i=0;i+1<length&&T[i+1]==T[i+2];i++); Next[2]=i; int a=2; //! for(int k=3;k<=length;k++){//长度+1，位置-1。 int p=a+Next[a]-1, L=Next[k-a+1]; if(L>=p-k+1){ int j=(p-k+1)>0?(p-k+1):0;//中断后可能是负的 while(k+j<=length&&T[k+j]==T[j+1]) j++;// 枚举(p+1，length) 与(p-k+1,length) 区间比较 Next[k]=j, a=k; } else Next[k]=L; } } void getextand(){ memset(Next,0,sizeof(Next)); getnext(); int Slen=strlen(S+1),Tlen=strlen(T+1),a=0; int MinLen=Slen>Tlen?Tlen:Slen; while(a<MinLen&&S[a+1]==T[a+1]) a++; extand[1]=a; a=1; for(int k=2;k<=Slen;k++){ int p=a+extand[a]-1,L=Next[k-a+1]; if(L>=p-k+1){ int j=(p-k+1)>0?(p-k+1):0; while(k+j<=Slen&&j+1<=Tlen&&S[k+j]==T[j+1]) j++; extand[k]=j;a=k; } else extand[k]=L; } } int main() { scanf("%s%s",S+1,T+1); N=strlen(S+1); M=strlen(T+1); reverse(S+1,S+N+1); Tree.init(); rep(i,1,N) num[i]=Tree.add(S[i]-'a',i); getextand(); rep(i,1,N) ans+=(ll)num[i-1]*extand[i]; printf("%lld\n",ans); return 0; }
二：后缀自动机
技能前置：由于本质不同的回文串最多|S|个，所以回文树的（时间和）空间是线性的。
后缀自动机也也差不多，不过空间开两倍。 但是并不是代表本质不同的字符串最多2|S|个，因为后缀自动机保存的是集合。
保存信息：回文树保存的是回文串的信息，而后缀自动机保存的是集合的信息。 集合里最长的串长度为maxlen[i]；集合大小为maxlen[i]-maxlen[fa[i]]；
而fa和ch数组的交叉复杂的DAG图，感觉初学有点难以理解的，原理还是自己去看吧。。。
功能：对于单个字符串S。可以求，不同子串个数； 个子串的长度； 最小表示法； etc。
对于多个串。 我们可以求最长公共子串； 以及各种匹配（匹配的长度需要记录，注意和集合最长长度maxlen区分）；etc。
构造：增量法，每次加入一个字符，由于一定会增加一个新串s[1,i]，所以节点数cnt++，sz[cnt]=1，maxlen[cnt]=i；然后往上走，直到有冲突，或者遇到根 。
1，遇到根(root=1)，表示全是可以接纳的，那么fa[np]=1;
2，一开始就遇到冲突的，即maxlen[q]==maxlen[p]+1，那么fa[np]=q即可。
3，中途遇到冲突，由于每个集合保存的信息的一样的，那么需要分叉(新的nq节点继续跑)。
int add(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[np]=maxlen[p]+1; sz[np]=1; while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } }
topo排序：和SA一样，基数较小，我们可以基数排序。 得到每个集合里的串出现次数。
void sort() { rep(i,1,cnt) a[i]=0; rep(i,1,cnt) a[maxlen[i]]++; rep(i,1,cnt) a[i]+=a[i-1]; rep(i,1,cnt) b[a[maxlen[i]]--]=i; for(int i=cnt;i>=1;i--) sz[fa[b[i]]]+=sz[b[i]]; }
例题一：UVA - 719Glass Beads
题意：给定字符串，求最小表示法的起始位置。 |S|<1e4
思路：我们把字符串加倍，丢到自动机里面。 由于我加倍了，所以去匹配的时候可以保证长度不小于|S|，即从第一位到第|S|位，每次匹配最小的即可，保证得到的是最小的。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=100010; char chr[maxn];int L; struct SAM { int fa[maxn],ch[maxn][26],maxlen[maxn],tot,last; void init() { tot=last=1; maxlen[1]=fa[1]=0; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); } void add(int x) { int np=++tot,p=last;last=np; maxlen[np]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++tot; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } void solve() { int Now=1; rep(i,0,L-1) rep(j,0,25){ if(ch[Now][j]) { Now=ch[Now][j];break; } } printf("%d\n",maxlen[Now]-L+1); } }S; int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)){ while(n--){ S.init(); scanf("%s",chr); L=strlen(chr); rep(i,0,L-1) S.add(chr[i]-'a'); rep(i,0,L-1) S.add(chr[i]-'a'); S.solve(); } } return 0; }
例题二：SPOJ - LCS Longest Common Substring
题意：给定字符串S，T，求最长公共子串。|S|,|T|<25e4
思路：SAM的基操，一个串建立SAM，一个串跑。
注意这个跑的时候，其长度是需要记录的，因为自动机里面记录的长度是“集合”的最长长度，而我们匹配的时候是对应的集合中的一个。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=500010; char c[maxn]; struct SAM { int ch[maxn][26],fa[maxn],maxlen[maxn],cnt,last; void init() { cnt=1; last=1; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); } void add(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[cnt]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q], fa[q]=fa[np]=nq; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } int match() { int np=1,len=0,ans=0,N; scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); rep(i,1,N){ int x=c[i]-'a'; while(np&&!ch[np][x]) np=fa[np],len=maxlen[np]; if(!np) np=1,len=0; if(ch[np][x]) np=ch[np][x],len++; ans=max(ans,len); } return ans; } }T; int main() { int N,Q,K; scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); T.init(); rep(i,1,N) T.add(c[i]-'a'); printf("%d\n",T.match()); return 0; }
例题三：SPOJ - LCS2 Longest Common Substring II
题意：给定最多N(N<10)个串，求最长公共字串。|每个串|<1e5。
思路：可以和上一题一样，用一个建SAM，剩下的去匹配。
这里也可以用另外的一种方法：广义后缀自动机。 这个东西表示，多个串，我丢到一个自动机里，这样的话会会节省很多空间。每个串丢进去之前把last设为1；
而且更方便的是，我们可以一遍插入，一遍更新，如果一个点被更新了N次，则属于公共子串。 由于每个点最多被更新一次，所以复杂度是线性的。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2000010; char c[maxn]; int ch[maxn][26],fa[maxn],maxlen[maxn],cnt,last,T,ans; int vis[maxn],num[maxn]; void insert(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[cnt]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q], fa[q]=fa[np]=nq; vis[nq]=vis[q]; num[nq]=num[q]; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } while(np&&vis[np]!=T) vis[np]=T,num[np]++,np=fa[np]; } int main() { int N; cnt=1; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); while(~scanf("%s",c+1)) { N=strlen(c+1); last=1; T++; rep(i,1,N) insert(c[i]-'a'); } rep(i,2,cnt) if(num[i]==T) ans=max(ans,maxlen[i]); printf("%d\n",ans); return 0; }
题意：给定字符串S。对于i=1到|S|，输出出现最多次数的长度为i字串出现的次数。 |S|<25e4
思路：先得到自动机，然后topo得到所有字串的出现次数。 注意一点就是，长度越短，对应的出现次数一定不减。我们可以从长到短依次更新即可。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=500010; char c[maxn];int ans[maxn]; struct SAM { int ch[maxn][26],fa[maxn],maxlen[maxn]; int a[maxn],b[maxn],sz[maxn],cnt,last; void init() { cnt=last=1; memset(ch[0],0,sizeof(ch[0])); } void add(int x) { int np=++cnt,p=last; sz[np]=1; last=np; maxlen[cnt]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q], fa[q]=fa[np]=nq; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } void sort() { rep(i,1,cnt) a[i]=0; rep(i,1,cnt) a[maxlen[i]]++; rep(i,1,cnt) a[i]+=a[i-1]; rep(i,1,cnt) b[a[maxlen[i]]--]=i; for(int i=cnt;i>=1;i--) sz[fa[b[i]]]+=sz[b[i]]; rep(i,1,cnt) ans[maxlen[i]]=max(ans[maxlen[i]],sz[i]); for(int i=cnt;i>=1;i--) ans[i]=max(ans[i],ans[i+1]); } }T; int main() { int N; scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); T.init(); rep(i,1,N) T.add(c[i]-'a'); T.sort(); rep(i,1,N) printf("%d\n",ans[i]); return 0; }
例题五：SPOJ - SUBLEXLexicographical Substring Search
题意：给定字符串S，现在将所有不同字串按字典序排序后，询问字典序第K大的字串，Q次询问。 |S|<9e4，Q<500, K<2^31
思路：最先的肯定的'a'开头的，然后是'b'开头的....，如果‘a’开头的大于等于K个，然后往‘a’的子树里走，即第一位是‘a’； 否则，K-=sum[a]，继续看'b'....
直到K<=0； 所以我们现在只要得到topo，倒序每个字符的子树大小即可。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=200010; char c[maxn]; struct SAM { int ch[maxn][26],fa[maxn],maxlen[maxn],cnt,last; int a[maxn],b[maxn],sz[maxn]; void init() { cnt=1; last=1; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); } void add(int x) { int np=++cnt,p=last; //sz[np]=1; last=np; maxlen[cnt]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q], fa[q]=fa[np]=nq; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } void sort() { rep(i,1,cnt) sz[i]=1;//maxlen[i]-maxlen[fa[i]]; rep(i,1,cnt) a[i]=0; rep(i,1,cnt) a[maxlen[i]]++; rep(i,1,cnt) a[i]+=a[i-1]; rep(i,1,cnt) b[a[maxlen[i]]--]=i; for(int i=cnt;i>=1;i--){ rep(j,0,25) if(ch[b[i]][j]) sz[b[i]]+=sz[ch[b[i]][j]]; } } void dfs(int np,int K) { if(np>1) K-=1; if(K<=0) return ; rep(i,0,25){ if(!ch[np][i]) continue; if(sz[ch[np][i]]<K) K-=sz[ch[np][i]]; else{ putchar('a'+i); dfs(ch[np][i],K); return ; } } } }T; int main() { int N,Q,K; scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); T.init(); rep(i,1,N) T.add(c[i]-'a'); T.sort(); scanf("%d",&Q); while(Q--){ scanf("%d",&K); T.dfs(1,K); putchar('\n'); } return 0; }
题意：给定字符串S，Q次询问区间不同子串。|S|<1000; Q<10000;
思路：左端点一样的一起搞就行了。 |S|次建立自动机，O(|S|^2)；
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2010; int ch[maxn<<1][26],fa[maxn<<1],ans[maxn*5],maxlen[maxn<<1],cnt,last,sum; char c[maxn]; struct in{ int L,R,id; bool friend operator <(in w,in v){ if(w.L==v.L) return w.R<v.R; return w.L<v.L; } }s[maxn*5]; void insert(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[np]=maxlen[p]+1; memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else{ int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq; while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } sum+=maxlen[np]-maxlen[fa[np]]; } int main() { int T,N,Q; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%s",c+1); N=strlen(c+1); scanf("%d",&Q); rep(i,1,Q) scanf("%d%d",&s[i].L,&s[i].R),s[i].id=i; sort(s+1,s+Q+1); rep(i,1,Q){ last=1; cnt=1; sum=0; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); int pos=i; rep(j,s[i].L,N){ insert(c[j]-'a'); while(s[pos].L==s[i].L&&j==s[pos].R&&pos<=Q) ans[s[pos].id]=sum,pos++; } i=pos-1; } rep(i,1,Q) printf("%d\n",ans[i]); } return 0; }
题意：给定N个数字串，求所有不同子串10进制下的和，结果膜2012。
思路：建立广义后缀自动机，然后从根节点，顺序遍历所有节点即可，num为到达节点的个数，val为节点的前缀和。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=200010; const int Mod=2012; char c[maxn]; struct SAM{ int ch[maxn][10],fa[maxn],maxlen[maxn],cnt,last; int a[maxn],b[maxn],ans,num[maxn],val[maxn]; void init() { cnt=1; memset(ch[1],0,sizeof(ch[1])); } int add(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[np]=maxlen[p]+1;memset(ch[np],0,sizeof(ch[np])); while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } void sort() { rep(i,1,cnt) a[i]=0; rep(i,1,cnt) a[maxlen[i]]++; rep(i,1,cnt) a[i]+=a[i-1]; rep(i,1,cnt) b[a[maxlen[i]]--]=i; } void solve() { sort(); rep(i,1,cnt) num[i]=val[i]=0; num[1]=1; ans=0; rep(i,1,cnt){ int p=b[i]; rep(j,0,9){ if((i==1&&j==0)||!ch[p][j]) continue; (num[ch[p][j]]+=num[p])%=Mod; (val[ch[p][j]]+=val[p]*10+num[p]*j)%=Mod; } (ans+=val[p])%=Mod; } } }T; int main() { int N,L; while(~scanf("%d",&N)){ T.init(); rep(i,1,N) { scanf("%s",c+1); L=strlen(c+1); T.last=1; rep(j,1,L) T.add(c[j]-'0'); } T.solve(); printf("%d\n",T.ans); } return 0; }
例题八：CodeForces - 235CCyclical Quest
题意：给定字符串S，Q次询问，每次询问给定字符串x，问S中有多少子串，可以通过循环同构=x；|x总和|<1e6。
思路：先把S建立自动机，然后topt得到每个节点的次数。 然后再想办法处理匹配，显然x需要每个点作为起点跑一遍自动机，然后重复的指统计一次。 但是这样复杂度是O(x^2)； 正确的方法是，把x加倍，然后在自动机上面跑，如果跑得的长度大于|x|，则失配，向fa跑。 整个过程中跑到的点只统计一次。 复杂度是线性的。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2000010; char c[maxn]; struct SAM{ int ch[maxn][26],fa[maxn],maxlen[maxn],cnt,last; int a[maxn],b[maxn],sz[maxn],val[maxn],vis[maxn],ans; SAM(){cnt=1;last=1;} int add(int x) { int np=++cnt,p=last; last=np; maxlen[np]=maxlen[p]+1; sz[np]=1; while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=np,p=fa[p]; if(!p) fa[np]=1; else { int q=ch[p][x]; if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) fa[np]=q; else { int nq=++cnt; maxlen[nq]=maxlen[p]+1; fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq; memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])); while(p&&ch[p][x]==q) ch[p][x]=nq,p=fa[p]; } } } void sort() { rep(i,1,cnt) a[i]=0; rep(i,1,cnt) a[maxlen[i]]++; rep(i,1,cnt) a[i]+=a[i-1]; rep(i,1,cnt) b[a[maxlen[i]]--]=i; for(int i=cnt;i>=1;i--) sz[fa[b[i]]]+=sz[b[i]]; } int match(int T) { scanf("%s",c+1); int L=strlen(c+1); rep(i,1,L) c[i+L]=c[i]; int np=1,len=0,ans=0; rep(i,1,L+L){ int x=c[i]-'a'; if(ch[np][x]) np=ch[np][x],len++; else { while(np&&!ch[np][x]) np=fa[np],len=maxlen[np]; if(!np) np=1,len=0; if(ch[np][x]) np=ch[np][x],len++; } while(len>L){ if(len-1>maxlen[fa[np]]) len--; else np=fa[np],len=maxlen[np]; //注意这里，截去头部的两种情况。 } if(len==L&&vis[np]!=T) ans+=sz[np],vis[np]=T; } return ans; } }T; int main() { int N,L,Cas=0; scanf("%s",c+1); L=strlen(c+1); rep(j,1,L) T.add(c[j]-'a'); T.sort(); scanf("%d",&N); while(N--){ int ans=T.match(++Cas); printf("%d\n",ans); } return 0; }
本来还有一些经典的例题，但是感觉没必要放太多例题。。。 上面的题都放到VJ-后缀自动机上面了
明天又要开始打gym了，后缀数组会尽量更新。 02-19------分界线------
后缀数组
上面我们说到，后缀自动机并不是万能的，虽然后缀自动机优美，简洁，强大......（超喜欢SAM）下面我会尽可能的和后缀自动机做比较，如果可以，找一些后缀数组可以实现，后缀自动机不太好做的题。
有的时候我们得用后缀数组来解决问题。 因为后缀数组是排序后的数组，可以结合线段树，二分，单调队列...来解决一些RMQ问题。
认识：
1，sa数组：按照字典序排序后的数组，第i位表示第i大的后缀对应在字符串中的下标。
2，ht数组：height数组，表示排序后和前一个的最长公共前缀。
3，rank数组：字符串后缀的排名。上面两个数组是针对的排序后，rank针对的字符串本身。
在求出sa和rank之后，其中sa和rank可以互相转化，他们一一对应，因为后缀的长度都不同，所以不可能有字典序相同的后缀，所以sa对应1到N。
排序：
基数排序，倍增。 对于字符串S，假如只有小写字母，对应了1到26；
一开始，我们对长度为1的字符串进行基数排序，这个时候sa数组对应1到N，而Rank数组对应1到26，显然不够一一对应，即排序未完成；
所以我们按照长度为2的继续排序，那么他们可以把后面一位当作第二关键字.....直到Rank对应1到N，说明排序完毕。
height数组功能：
假设要求suf(i)和suf(j)的最长公共前缀LCP，假设rank[i]<rank[j]，那么ans=min(ht[rank[i]+1],ht[rank[i]+2]....ht[j]);
这是显然的，因为我们已经按字典序排序了。 而区间最小值我们可以ST预处理，O（1）查询。
本质不同的子串数量：
1，回文树的本质不同的回文串：就是数组大小，即tot。
2，后缀自动机的本质不同的子串：集合大小之和，即Σ(maxlen[i]-maxlen[fa[i]])。
3，后缀数组：我们统计每一个下标作为开头的子串的贡献。 对于下标i, S[i,i]; S[i,i+1],S[i,i+2]....S[i,len];个数为len-i+1，然后我们知道了它和之前的重复数量，去重就是减去ht[rank[i]]；
两个串的最长公共子串：
求S和T的最长公共子串，我们把他们连接S+‘&’+T，这样的话就对应了|S|+|T|+1个后缀，求后缀数组。 如果sa[i]和sa[i-1]对应的下标分别是S和T，则可以用ht[i]更新答案。 因为区间越长，min(height)越小。
实现：cntA，A统计第一关键字，cntB，B统计第二关键字。 tsa是按照第二关键字排序的结果，然后把用来排第一关键字。
void getsa() { N=strlen(ch+1); rep(i,0,300) cntA[i]=0;//注意这里是字符范围，不是N rep(i,1,N) cntA[ch[i]]++; rep(i,1,300) cntA[i]+=cntA[i-1]; rep2(i,N,1) sa[cntA[ch[i]]--]=i; Rank[sa[1]]=1; rep(i,2,N) Rank[sa[i]]=Rank[sa[i-1]]+(ch[sa[i]]==ch[sa[i-1]]?0:1); for(int l=1;Rank[sa[N]]<N;l<<=1){ rep(i,1,N) cntA[i]=cntB[i]=0; rep(i,1,N) cntA[A[i]=Rank[i]]++; rep(i,1,N) cntB[B[i]=i+l<=N?Rank[i+l]:0]++; rep(i,1,N) cntA[i]+=cntA[i-1],cntB[i]+=cntB[i-1]; rep2(i,N,1) tsa[cntB[B[i]]--]=i; rep2(i,N,1) sa[cntA[A[tsa[i]]]--]=tsa[i]; Rank[sa[1]]=1; rep(i,2,N) Rank[sa[i]]=Rank[sa[i-1]]+(A[sa[i]]==A[sa[i-1]]&&B[sa[i]]==B[sa[i-1]]?0:1); } }
求height数组：利用相邻关系，有height[rank[i]] ≥ height[rank[i-1]]-1
void getht() { for(int i=1,j=0;i<=N;i++){ if(j) j--; while(ch[i+j]==ch[sa[Rank[i]-1]+j]) j++; ht[Rank[i]]=j; } }
（目前暂未出现后缀自动机不能实现的功能.....其他功能请看例题。）
