1096: [ZJOI2007]仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

 

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

 

这道题首先可以有一个基本思路，

f[i][j]表示i到j的最小花费，

f[i][j]=min(f[i][k]+k到j的花费)

这样是n^3考虑优化。。。

显然我们只需要用f[i]表示i到1的最小花费

f[i]=min(f[j]+i到j的花费)

这样就变成了n^2

还是不可以，这个时候我们思考一下如何计算i到j的花费

我们可以用sum表示1到i的货物数之和

如果直接乘距离的话会多算，所以我们b来表示第i个仓库到1的花费，

我们用（sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j])+c[i]即可。。。

然后我们发现n^2还是不行，

我们再来看现在的状态转移方程:f[i]=min(f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j])+c[i])

变形得到：(f[i]-f[j]+b[i-1]-b[j])/(sum[i-1]-sum[j])=x[i]  c[i]看做常数。。。

这样就变成了斜率优化。。。

若j比k更优

则 (f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(sum[j]-sum[k])<x[i]

所以就可做了。。。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#define inf 1000000000
#define maxn 1000000+5
#define maxm 10000+5
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
using namespace std;
int n,q[maxn];
ll x[maxn],c[maxn],p[maxn],sum[maxn],b[maxn],f[maxn];
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
double k(int j,int k){
    return (double)(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(double)(sum[j]-sum[k]);
}
int main(){
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    n=read();
    for1(i,n){
        x[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();
        sum[i]=sum[i-1]+p[i];
        b[i]=b[i-1]+p[i]*x[i];
    }
    int l=0,r=0;
    for1(i,n){
        while(l<r&&k(q[l+1],q[l])<(double)x[i])l++;
        int j=q[l];
        f[i]=f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j])+c[i];
        while(l<r&&k(i,q[r])<k(q[r],q[r-1]))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}