1041: [HAOI2008]圆上的整点

Description

　　求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

　　只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

　　整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

 

 

这道题是个喜闻乐见的推公式。。。。

显然枚举每个点是O(r)的。。。会T。。

然后对式子变形。。。

x^2+y^2=r^2→x^2=r^2-y^2=(r+y)(r-y)

我们不妨设d为r+y，r-y的最大公约数。。。则r+y=a^2*d,r-y=b^2*d

然后就可以得到：x^2=d^2*a^2*b^2

为什么是a^2和b^2因为要求x是整数啊，而且d是最大公因数，则a与b互素。。。。

r+y=a^2*d······①

r-y=b^2*d······②

①+②得：2*r=d(a^2+b^2)······③

因为d是r-y的因数，所以1<=d<sqrt(r/2)

如果满足条件，就枚举a，这时有两种情况，因为我们的d是小于sqrt(r/2)的。。。

所以除了d还有可能是2*r/d。。

根据③得到a的取值范围是1<=a^2<(r/d)或1<=a^2*2<d。。。

然后也可以算出b，只需判断b是否是整数并且与a互素就可以了。。。

需要注意的是因为我们算的只是四分之一圆的情况，所以答案要乘4，并且我们没有算x=0或y=0的情况，所以还要加4。。。

然后就解决了。。。

注意：会涉及到精度。。。对于类似x<sqrt(y)的式子可以变成x^2<y提高精度。。。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#define inf 1000000000
#define maxn 10000+5
#define maxm 10000+5
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll gcd(ll a,ll b){if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}
int main(){
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    ll r=read(),ans=0;
    for(ll d=1;d*d<=2*r;d++){
        if((2*r)%d==0){
            for(ll a=1;a*a<r/d;a++){
                double b=sqrt(2*r/d-a*a);
                if(b-(ll)b<=eps&&gcd(a,(ll)b)==1)ans++;
            }
            for(ll a=1;a*a*2<d;a++){
                double b=sqrt(d-a*a);
                if(b-(ll)b<=eps&&gcd(a,(ll)b)==1)ans++;
            }
        }
    }
    printf("%lld",ans*4+4);
    return 0;
}