1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行

Description

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。 奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P

* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i条道路。

Output

* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅 行的话，她们能获得的最大平均乐趣值

 

Sample Input

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

Sample Output

6.00

输出说明:

如果奶牛选择1 -> 2 -> 3 -> 5 -> 1的旅行路线，她们能得到的总乐趣值
为60，为此她们得花费10单位的时间在走路上。于是她们在这次旅行中的平均乐
趣值为6。如果她们走2 -> 3 -> 5 -> 2的路线，就只能得到30/6 = 5的平均乐
趣值。并且，任何去参观建筑物4的旅行路线的平均乐趣值都没有超过4。

 

 

第一次写分数规划。。。想明白之后就会觉得其实也不难。。。

个人感觉分数规划和斜率优化比较类似。。。因为两者实际上都是对表达式的推导。。。

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什么是分数规划？

对于一个值R，它的表达式为R=（a[1]*x[1]+a[2]*x[2]+a[3]*x[3]···a[n]*x[n])/(b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+b[3]*x[3]···b[n]*x[n])//x[i]={0,1}

那么即可化简变成一个函数f(R)=（a[1]*x[1]+a[2]*x[2]+a[3]*x[3]···a[n]*x[n])-R*(b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+b[3]*x[3]···b[n]*x[n])

显然，当R值为一个可行解时，f(R)=0

那么对于一种情况（因为x[i]的取值不是固定的）来说，可以使f(R)>0 那么就一定可以得到一个更优的解。。。

因此，我们可以采取二分最优的R的方法。。。

-------------------------分割线-----------------------

对于这道题，根据题意肯定是找环。。。所以使用spfa判负环。。。然后二分答案即可。。。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#define mod 1000000007
#define inf 100000
#define maxn 30005
#define maxm 30005*2
#define eps 0.001
#define ll long long
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
using namespace std;
struct edgs{int go,next,w;double v;}e[maxm];
double d[maxn];
int n,m,tot,v[maxn],head[maxn],a[maxn];
bool mark[maxn],flag;
void insert(int x,int y,int z){
    e[++tot].go=y;e[tot].w=z;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
}
void spfa(int x){
    mark[x]=1;
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next)
    if(d[x]+e[i].v<d[y=e[i].go]){
        if(mark[y]){flag=1;return;}
        else{
            d[y]=e[i].v+d[x];
            spfa(y);
        }
    }
    mark[x]=0;  
}
bool check(){
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=mark[i]=0;
    flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        spfa(i);
        if(flag)return 1;
    }
    return 0; 
}
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void build(double x){
    for1(i,n)
        for4(j,i)
            e[j].v=e[j].w*x-a[y];
}
int main(){
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for1(i,n)a[i]=read();
    for1(i,m){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        insert(u,v,w);
    }
    double left=0,right=inf;
    while(right-left>eps){
        double mid=(left+right)/2;
        build(mid);
        if(check())left=mid;
        else right=mid;
    }
    printf("%.2f",left);
    return 0;
}