1831: [AHOI2008]逆序对

Description

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游，但是他们不知道Y岛有多远。好在，他们找到一本古老的书，上面是这样说的： 下面是N个正整数，每个都在1~K之间。如果有两个数A和B，A在B左边且A大于B，我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对，你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。 比如说，4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对：(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。 可惜的是，由于年代久远，这些数字里有一部分已经模糊不清了，为了方便记录，小可可用“-1”表示它们。比如说，4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3，也可能是4 2 4 4 3，也可能是别的样子。 小可可希望知道，根据他们看清楚的这部分数字，能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数，每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数，即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4
4 2 -1 -1 3

Sample Output

4

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然，也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围：
100%的数据中，N<=10000，K<=100。
60%的数据中，N<=100。
40%的数据中，-1出现不超过两次。

 

这道题应该很容易想到填的数至少是递增的。。。其实我并不会证明=，=

口胡一下就是，两个数a>b,a在前b在后。。。如果交换a和b，那么a前面和b后面的逆序对个数不会变化，

a和b之间的逆序对最差是不变的，因为一个更小的数放在了前面，一个更大的数放在了后面，

所以可以发现递增的填入数字是最优的，那么就可以发现前面填过的数字对后面填什么并没有影响。。。

所以就可以用DP搞一搞了。。。

用F[i][j]表示第i个空填的数字为j，所产生的逆序对。。。

那么就可以得到F[i][j]=min(F[i][j],F[i-1][p]+cost[i][j])

cost[i][j]就是第i位填j所产生的逆序对数，可以预处理出来每一位填一个数所产生的逆序对个数（我感觉这个真是太神辣。。。没看数据的话，这么暴力的预处理真的不会T吗。。。）

然后就可以做了，答案要记得加上原先的逆序对个数。。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#define inf 1000000000
#define maxn 10000+5
#define maxm 100+5
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
using namespace std;
int a[maxn],p[maxn],tot;
ll f[maxn][maxm],big[maxn][maxm],g[maxn][maxm],sma[maxn][maxm];
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main(){
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    int n=read(),k=read();
    for1(i,n){
        a[i]=read();
        if(a[i]==-1)tot++,p[tot]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            big[i][j]=big[i-1][j];
            if(a[i]>j) big[i][j]++;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            sma[i][j]=sma[i+1][j];
            if((a[i]<j)&&(a[i]!=-1)) sma[i][j]++;
        }
    }
    for1(i,tot){
        f[i][1]=f[i-1][1]+big[p[i]][1]+sma[p[i]][1];
        g[i][1]=f[i][1];
        for2(j,2,k){
            f[i][j]=g[i-1][j]+big[p[i]][j]+sma[p[i]][j];
            g[i][j]=min(g[i][j-1],f[i][j]);
        }
    }
    ll ans=inf;
    for1(i,k){
        ans=min(ans,f[tot][i]);
    }
    for1(i,n)ans+=big[i][a[i]];
    cout<<ans;
    return 0;
}