树、森林与二叉树的转换

1、树转换为二叉树

　　由于二叉树是有序的，为了避免混淆，对于无序树，我们约定树中的每个结点的孩子结点按从左到右的顺序进行编号。

　　将树转换成二叉树的步骤是：
　　（1）加线，图例红色。就是在所有兄弟结点之间（同一层同一双亲结点的结点间）加一条连线；
　　（2）抹线。就是对树中的每个结点，只保留他与第一个孩子结点之间的连线，删除它与其它孩子结点之间的连线；
　　（3）旋转。就是以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定角度，使之结构层次分明，红色横线连起来的结点作为最左结点的右孩子。

 

 

  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　树转换为二叉树的过程示意图

2、森林转换为二叉树

　　森林是由若干棵树组成，可以将森林中的每棵树的根结点看作是兄弟，由于每棵树都可以转换为二叉树，所以森林也可以转换为二叉树。

　　将森林转换为二叉树的步骤是：
　　（1）先把每棵树转换为二叉树；
　　（2）第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子结点，用线连接起来。当所有的二叉树连接起来后得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　森林转换为二叉树的转换过程示意图

3、二叉树转换为树、森林

　　二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程，其步骤是：
　　（1）若某结点的左孩子结点存在，将左孩子结点的右孩子结点、右孩子结点的右孩子结点……都作为该结点的孩子结点，将该结点与这些右孩子结点用线连接起来；
　　（2）删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线；
　　（3）整理（1）和（2）两步得到的树，使之结构层次分明。

 

 

  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二叉树转换为树的过程示意图

　　二叉树转换为森林比较简单，其步骤如下：

　　（1）先把每个结点与右孩子结点的连线删除，得到分离的二叉树；
　　（2）把分离后的每棵二叉树转换为树；
　　（3）整理第（2）步得到的树，使之规范，这样得到森林。

　　判断一棵二叉树能够转换成一棵树还是森林，标准很简单，那就是只要看这棵二叉树的根结点有没有右孩子，有的话就是森林，没有的话就是一棵树。

 结论：

　　根据树与二叉树的转换关系以及二叉树的遍历定义可以推知：（树只有先根遍历和后根遍历，没有中根，因为定义的子树未必是两个，可能是三个，没法左右，所以树是没有中根遍历）

1. 树的先序遍历与其转换的相应的二叉树的先序遍历的结果序列相同；
2. 树的后序遍历与其转换的二叉树的中序遍历的结果序列相同；
3. 树的层序遍历与其转换的二叉树的后序遍历的结果序列相同。

　　由森林与二叉树的转换关系以及森林与二叉树的遍历定义可知：（森林只有先序遍历和中序遍历，没有后序，有的教材虽然叫后序，实质还是先访问第一棵树的子森林，然后根，在除此之后下一森林，不管怎么称呼，两者含义是一样的）

1. 森林的先序遍历和中序遍历与所转换得到的二叉树的先序遍历和中序遍历的结果序列相同。

　　解决下森林没有后序遍历：注意在森林的遍历中，把结点下面的一群孩子结点全看成左孩子结点了。

　　在这样的上下文环境下，结点就无右孩子了，只有先序->根左，或者中序->左根，而后序->左根，所以就没有后序了，这也是为什么有些教材也叫后序遍历，如果是叫后序遍历，等价于对应二叉树的中序，也就是不管森林里叫它中序也好，后续也好，都等价于对应二叉树的中序遍历。 

 　　森林的遍历有两种方法：

（1）先序遍历森林

1. 1. 访问森林中第一棵树的根结点；
   2. 先序遍历森林中第一棵树的根结点子树组成的森林；
   3. 先序遍历除去第一棵树之外其余的树组成的森林。

（2）中序遍历森林

1. 1. 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树组成的森林；（这里相当于把结点下面的孩子结点全看成左孩子结点了）
   2. 访问第一棵树的根结点；
   3. 中序遍历除去第一棵树之外其余的树组成的森林。

假设：根据先序中序，比葫芦画瓢，推测（3）后序遍历森林定义：

1. 1. 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树组成的森林；
   2. 后序遍历除去第一棵树之外其余的树组成的森林；
   3. 访问第一棵树的根结点。

　　　　　　按此得出的序列 B C D F J H I G E A

　   和对应二叉树的后序序列 D C B F J H I G E A 不一样。也没有什么研究意义了。另，在对应二叉树中B C D有顺序层次，而在森林中BCD，全看成左孩子,它们遍历的结果便不一样了。