洛谷P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

写在前面

昨天说好“明天见”的，我还算信守承诺吧？
蒟蒻还是那个蒟蒻，依然是要叨叨，不过，今天要讲的，是本蒟蒻人生第一道绿题！
本题目来自洛谷，网址https://www.luogu.com.cn/problem/P1314。建议自己试试。
本题解非营利性，无恶意，无侵权目的。如有侵犯您的著作权或其他知识产权抑或任何权利，还请多多包涵，与作者联系删除！
蒟蒻水平低下，错误连篇，欢迎您找茬批评指正！

题面（复制于洛谷）

[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从 \(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：

1 、给定$ m$ 个区间 \([l_i,r_i]\)；

2 、选出一个参数 \(W\)；

3 、对于一个区间 \([l_i,r_i]\)，计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\)：

\[y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \]

其中 \(j\) 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 \(W\) 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\) 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n,m,s\)，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 \(n\) 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+1\) 行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\)。

接下来的 \(m\) 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+n+1\) 行表示区间 \([l_i,r_i]\) 的两个端点 \(l_i\) 和 \(r_i\)。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

样例输出 #1

10

提示

【输入输出样例说明】

当 \(W\) 选 \(4\) 的时候，三个区间上检验值分别为 \(20,5 ,0\) ，这批矿产的检验结果为 \(25\)，此时与标准值 \(S\) 相差最小为 \(10\)。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10\)；

对于 $30% $的数据，有 \(1 ≤n ,m≤500\) ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 \(70\%\) 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10,000\) ；

对于 \(100\%\) 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\) 。

题目解释

首先，我要说的是，这家伙这么偷懒，还随意改变标准，确定不会丢饭碗？！
玩完了，切入正题。不得不说，这题信息量蛮大的，但读完总结总结，也就那么点东西。
他要你干什么呢？
\(n\)个\(w\)，\(n\)个\(v\)，从\(l\)到\(r,w\)大于\(W\)中所有的\(v\)相加，乘上这些编号的和，就是\(y\)。
\(m\)个\(l\)，\(m\)个\(r\)，这之中所有\(y\)相加，跟s比较，差值越小越好。
\(n,m,w,v,l,r,\)这些都给你，自己找一个\(W\)，然后输出最小差值。
就这样，结束了。
那怎么办到呢？
既然从\(l\)到\(r\)求和，是不是会用到前缀和啊？（前缀和不知道的可以\(bdfs\)一下，仔细学学，可有用了）
那然后，要自己找\(W\)，是不是按大小顺序找啊？（从计算公式可得，\(W\)越大，\(y\)越小）既然从小往大，是不是可以用二分啊？
这么着，整道题就迎刃而解了。

代码实现

首先，永不变的前期准备

const int N=200005;
int w[N]; //存储重量 
int v[N]; //存储价值 
int sum_cnt[N];//记录下标 
int m,n;//意义见题面 
long long s;
int li[N],ri[N]; //记录m个区间 
long long sum_v[N];//记录矿产价值前缀和 

其次，计算每个区间的y值

long long get_y(int li, int ri, int W)//计算区间检测值y 
{
	int cnt=sum_cnt[ri]-sum_cnt[li-1];//获得下标差值 
	long long ret=sum_v[ri]-sum_v[li-1];//获得总价值 
	return cnt*1LL*ret;//返回y值（即cnt*ret） 
}

再次，计算总和

long long get_sum(int W)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)// 初始化
	{ 
		if(w[i]>=W)//只有重量达到参数才予以计数 
		{ 
			sum_cnt[i]=1;//符合条件时，下标记录赋1，用于进行计算 
			sum_v[i]=v[i];//价值前缀和先用自身价值 
		}
		else
		{
			sum_cnt[i]=0;//不满足条件则不予记录 
			sum_v[i]=0;
		}
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)//前缀和 
	{
		sum_cnt[i]+=sum_cnt[i-1];//下标为每个符合条件的矿石在符合条件的序列中的位置 
		sum_v[i]+=sum_v[i-1];//计算价值前缀和 
	}
	long long ret=0;//ret代表各区间y值之和 
	for(int i=1;i<=m;i++)//遍历区间 
		ret+=get_y(li[i],ri[i],W);//求该区间y值并求和 	
	return ret;//返回检验结果 
}

最后，主函数里一输入，一查找，一输出，完事

int main()
{
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&li[i],&ri[i]);	
	int L=0;//W=0时，get_sum是最大的，保证结果>=s 
	int R=1e6+1;//此时get_sum是最小的，保证结果<s 
	while(L+1<R)//二分查找直到L>=R，此时查找到目标 
	{
		int mid=(L+R)>>1;//右移1，即相当于除以2。取L与R的中间值 
		if(get_sum(mid)>=s)//若该参数下总和大于或等于目标s 
			L=mid;//查找右半边 
		else
			R=mid;//否则查找左半边 
	}
	printf("%lld",min(get_sum(L)-s,s-get_sum(R)));//输出较小值 
	return 0;
}

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200005;
int w[N];
int v[N];
int sum_cnt[N];
int m,n;
long long s;
int li[N],ri[N]; 
long long sum_v[N];
long long get_y(int li, int ri, int W) 
{
	int cnt=sum_cnt[ri]-sum_cnt[li-1]; 
	long long ret=sum_v[ri]-sum_v[li-1];
	return cnt*1LL*ret; 
}
long long get_sum(int W)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{ 
		if(w[i]>=W)
		{ 
			sum_cnt[i]=1;
			sum_v[i]=v[i];
		}
		else
		{
			sum_cnt[i]=0;
			sum_v[i]=0;
		}
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum_cnt[i]+=sum_cnt[i-1];
		sum_v[i]+=sum_v[i-1];
	}
	long long ret=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ret+=get_y(li[i],ri[i],W);	
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&li[i],&ri[i]);	
	int L=0;
	int R=1e6+1;
	while(L+1<R)
	{
		int mid=(L+R)>>1;
		if(get_sum(mid)>=s)
			L=mid;
		else
			R=mid;
	}
	printf("%lld",min(get_sum(L)-s,s-get_sum(R)));
	return 0;
}

请注意

• get_y函数内的1ll是一种特殊记法，即long long下的\(1\)，常用来乘上目标数字以达到数据类型转换的目的
• 本题目数据范围可谓是千里之差。为了更好地理解，如果容易混淆，那就全开long long吧
• 二分查找一定要注意边界，不然会酿成大祸的
• 输出时get_sum(L)-s是因为经过循环，L\(\geq\)R。此时，get_sum\(\geq\)s。s-get_sum(R)亦然。

时间复杂度

初步猜测，时间复杂度为\(2n\)?
洛谷运行结果如下：

时间复杂度真心不高，连个过100\(ms\)的都没有。
不过空间复杂度确实高了点。(反正空间又不值钱)

写在最后

人生第一道绿题！噢耶！
您能看到这，真是太了不起了！
这次题解花了不少时间，感觉好像又打回原形了qwq
欢迎各位纠错、优化！

THE END~