能量信号、功率信号、频谱、能量谱、功率谱、及一些定理

　　频谱反应的是信号的幅度和相位随频率的分布情况，它描述了信号的频域特征。同时，也可以用功率谱和能量谱来描述信号的频域特性。一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。

注：随机信号只能用功率谱来描述它的频率特性。由于，无法用确定的时间函数表示，也就无法得到信号是频谱。

• 能量信号

　　 一个信号的能量是有限的，即 $\int^\infty_{-\infty }f(t)^2dt<∞$ ，则称这个信号为能量信号。

• 功率信号

　　若一个信号不满足能量有限，但其功率 $$ P= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt<∞ $$，则称这个信号为功率信号。例如，周期信号。可见，能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。

注：还有一类信号其功率和能量都是无限的，如 f(t) = t，这类信号很少会用到。

• Parseval 定理

　　时频域能量相等，就是说函数平方的和（或积分）等于其傅里叶转换式平方之和（或者积分）。

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega     \\     \sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2 $$

• 能量谱（能量谱密度）

　　对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是焦/赫。$$ E(\omega) = |F(\omega)|^2       \\          E = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}E(\omega)d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}E(f)df         $$

• 功率谱（功率谱密度）

　　对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。$$  P(\omega) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}|F_T(\omega)|^2  $$  式中$F_T(\omega)$为$f(t)$的截短函数 $f_T(t)$的傅里叶变换。 $$  P= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P(\omega)d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}P(f)df   $$

•  Winner-Khintchine theorem（维纳-辛钦定理）

　　宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换。

对于平稳随机信号 $  \{  X(t)  \}  $        $$  P_X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau) e^{-jw\tau}d\tau      \\       R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P_X(w)e^{jw\tau}dw        $$

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　　随机过程的平稳性分为严格平稳和广义平稳（宽平稳）。

严格平稳：所谓随机过程严格平稳，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

广义平稳（宽平稳）：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

注：一个宽平稳过程不一定是严平稳过程，一个严平稳过程也不一定宽平稳过程。

　　正态过程是一个重要特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。

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互相关函数： $  R_{XY}(t_1,t_2) = E\ [ X(t_1)Y(t_1)\ ] $

自相关函数：$  R_X(t_1,t_1+\tau)=E\ [ X(t_1)X(t_2)\ ]  $ ， 若宽平稳过程有，$R(t_1,t_1+\tau)=R(\tau)$

能量信号的自相关函数：$$ R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t+\tau)dt $$

功率信号的自相关函数：$$ R(\tau)=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)f(t+\tau)dt $$

自相关函数的特性：

(1) 偶函数  $R(\tau)=R(-\tau)$

(2)             $R(0) \geqslant |R(\tau)| $

(3) $R(0)$表示能量信号的能量或功率信号的功率，即  $ R(0) = E  \ \  ; \ \  R(0) = P $

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因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。

 

 

小插曲