正态分布（高斯分布）、Q函数、误差函数、互补误差函数

1.正态分布（高斯分布）

若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $\mu$ 、尺度参数为 $\sigma$ 的概率分布，且其概率密度函数为

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 {\sigma} ^2}} $$

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 $X \thicksim N(\mu , \sigma ^2)$ 。

当$\mu = 0, \sigma = 1$时，称为标准正态分布。 $X \thicksim N(0 , 1)$ 

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2 }} $$

如下图是一般正态分布

 

如下图是标准整体分布

一般正态分布的分布函数$F(x)$

$$F(x)=P(X \leqslant x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{(t-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}dt $$

标准正态分布的分布函数$\Phi(x)$：

 

$$\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt $$

2.Q函数

 Q函数又称标准正态分布的右尾函数。

$$Q(x)=\int_x^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt = 1-\Phi(x) $$

 

 

3.误差函数

$$ erf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_0^{x}e^{-t^2}dt $$

4.互补误差函数

$$ erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x) $$

 

 5.它们之间的关系

 $$ Q(x) = 1-\Phi(x) $$

 $$ Q(x) = \frac{1}{2} erfc(x/ \sqrt 2) $$

 $$ erfc(x) = 2Q(\sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) = 1-2Q(\sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) + erfc(x) = 1 $$

注：

由正态分布密度函数的总积分为1（即概率 P(X<∞) = 1）得：