树和二叉树

树

二叉树

基本概念

　　二叉树是一个有限的结点集合，该集合或者为空，或者由一个根结点及其两棵互不相交的左、右二叉子树所组成。

二叉树的结点中有两棵子二叉树，分别称为左子树和右子树。因为二叉树可以为空，所以二叉树中的结点可能没有子结点，也可能只有一个左子结点（右子结点），也可能同时有左右两个子结点。

如图1-4所示是二叉树的4种可能形态（如果把空树计算在内，则共有5种形态）。

　　图1-4 二叉树的4种不同形态

与树相比，二叉树可以为空，空的二叉树没有结点（树至少有一个结点）。在二叉树中，结点的子树是有序的，分左、右两棵子二叉树。
二叉树常采用类似树的标准存储结构来存储，其结点类型可以用C语言定义如下：

typedef struct Btnode{
    char data; /*数据*/
    strucrt Btnode *lchild; /*左孩子*/
    struct Btnode *rchild; /*右孩子*/
}BTNODE;

性质

性质1：在二叉树的第 i 层上至多有2^i-1 个结点（i≥1）。
性质2：深度为 k 的二叉树至多有2^k –1个结点（k≥1）。
性质3：对任何一棵二叉树，如果其叶子结点数为n₀ ，度为2的结点数为n₂ ，则 n₀ = n₂ +1。
证明，总结点数 n=n₀+n₁+n₂, 另一方面，除了根节点，每一个节点上面都有一根线，故 n = B +1，度为1的有一根线，度为2的有两根线，故 n = n₁ + 2n₂ + 1
所以，n₀+n₁+n₂ = n₁ + 2n₂ + 1 ，化简得 n₀ = n₂ +1

一棵深度为k且有2^k –1（k≥1）个结点的二叉树称为满二叉树。如图1-5所示就是一棵满二叉树，对结点进行了顺序编号

如果深度为k、有n个结点的二叉树中各结点能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标号的结点相对应，则称这样的二叉树为完全二叉树。

如图1-6（a）所示是一棵完全二叉树，而（b）、（c）是两棵非完全二叉树。显然，满二叉树是完全二叉树的特例。

性质4：具有n（n>0）个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ log₂n 」+1。（注：符号⌊⌋为向下取整运算符， ⌈⌉为向上取整运算符，表示不大于m的最大整数，反之，表示不小于m的最小整数）
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第 L log 2 n」+1层，每层从左到右），则对任一结点 i（1≤i≤n），有：
　如果i=1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1,则其双亲是结点 ⌊ i/2 ⌋。
　　如果 2i > n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点 2i 。
　　如果 2i+1 > n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点 2i+1。

遍历

① NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称（先序遍历））
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
② LNR：中序遍历(Inorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
③ LRN：后序遍历(Postorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
注意：
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。