决策树——机器学习(周志华)

C++实现决策树

决策树

决策数学习的基本算法

划分选择

决策树的关键在第8行，如何选择最优划分属性，一般而言，随着划分过程不断进行，我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别，即节点的“纯度”越来越高。

信息增益

“信息熵”是度量样本集合纯度最常用的一种指标。

信息熵

$Ent(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}p_klog (p_k)$

当前样本D中的第k类样本（比如好瓜、坏瓜）所占的比例为$p_k$，则D的信息熵为上面公式，值越小，纯度越高

信息增益（ID3决策树）

$Gain(D,a) = Ent(D)-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$

$V$表示属性a的可能取值为$\{a^1,a^2,...,a^V\}$, 信息增益越大，使用a属性来划分所获得的“纯度提升越大”，因此我们可以使用信息增益作为决策树的划分属性选择，就如第8行的$a_* = \arg \limits_{a\in A} \max Gain(D, a)$, ID3决策树学习算法就是使用信息增益为准则划分属性。

增益率（C4.5决策树）

使用信息增益的缺点可能划分纯度很大，但是决策树不具有泛化能力，就是过拟合，无法对新样本进行有效的预测，信息增益准则对可能取值数目较多的属性有所偏好。C4.5决策树算法使用增益率来选择最优划分属性。
$Gain_ratio(D,a) = \frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$
$IV(a) =-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}log_2 \frac{|D^v|}{|D|}$

$IV(a)$称为属性a的“固有值”，属性a的取值数目越多，值越大。增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好。所以C4.5决策树算法使用了一个启发式的算法：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择信息增益率最高的。

基尼指数（CART决策树）

数据集D的纯度用基尼指数表示为：

$Gini(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}p_k^2$

基尼指数越小，纯度越高

属性a的基尼指数为：

$Gini_index(D,a) = \sum_{v= 1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)$

在候选属性集合A中，选择使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性，$a_* = \arg \limits_{a\in A} \min Gini\_index(D, a)$

剪枝处理

是一种决策树学习算法对付“过拟合”的手段。

• 预剪枝
• 后剪枝

预剪枝

在决策树生成过程中，对每个节点在划分前进行估计，若当前节点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前节点标记为叶节点。

未剪枝决策树

预剪枝决策树

后剪枝

先从训练集中生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶节点进行考察，若将该节点对应地子树替换为叶节点能带来决策树泛化性能提升，则将该字叔替换为叶节点。

连续与缺失值

连续值处理

我们之前都是基于离散属性来生成决策树，现实中可能遇到连续属性。
如图中地密度和含糖率

最简单地策略是采用二分法对来内需属性进行处理，C4.5决策树就是采用地这样地机制。

• 将连续属性a排序为$\{a^1, a^2,...,a^n\}$
• 基于划分点t将D分为子集$D^-$和$D^+$
• 对相邻地属性取值$a^i$和$a^{i+1}$，t在区间$[a^i,a^{i+1})$中取任意值产生地划分结果相同
• 划分点集合
  $T_a = \{\frac{a^i + a^{i+1}}{2}| 1 <= i <= n - 1\}$
• 信息增益
  $Gain(D,a) =\max \limits_{t\in T_a} Gain(D,a,t) =\max \limits_{t\in T_a} Ent(D)-\sum \limits_{\lambda\in \{-,+\}} \frac{|D_t^{\lambda}|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda})$

选择使$\max \limits_{t\in T_a} Gain(D,a,t)$最大化地划分点

缺失值处理

现实任务中总会遇到不完整地样本，样本地某些属性值缺失。我们不能完全丢弃，否则是一种信息浪费。

所以我们要解决两个问题：

• 如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择?
• 给定划分属性?若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分?

下面

• 令$\widetilde{D}$表示D中在属性a上没有缺失值地样本子集
• 令$\widetilde{D}^v$表示$\widetilde{D}$在属性a上取值为$a^v$地样本子集
• 假定我们给每一个x赋予一个权重$\omega_x$，并定义

$\rho = \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}{\sum_{x\in D}\omega_x}$

表示无缺失值样本所占比例

$\widetilde{\rho }_k= \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}_k}\omega_x}{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}$

表示无缺失值样本中第k类所占地比例

$\widetilde{r }_v= \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}^v}\omega_x}{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}$

表示无缺失值样本中在属性a上取值$a^v$地样本所占地比例

• 信息增益

$Gain(D,a) = \rho * Gain(\widetilde{D},a)\\ = \rho * (Ent(\widetilde{D})-\sum_{v=1}^{V}\widetilde{r }_vEnt(\widetilde{D}^v))$

$Ent(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}\widetilde{\rho }_klog (\widetilde{\rho }_k)$