原文地址激活函数和损失函数
这一部分来探讨下激活函数和损失函数。在之前的logistic和神经网络中，激活函数是sigmoid, 损失函数是平方函数。但是这并不是固定的。事实上，这两部分都有很多其他不错的选项，下面来一一讨论
激活函数和损失函数
激活函数
关于激活函数，首先要搞清楚的问题是，激活函数是什么，有什么用？不用激活函数可不可以？答案是不可以。激活函数的主要作用是提供网络的非线性建模能力。如果没有激活函数，那么该网络仅能够表达线性映射，此时即便有再多的隐藏层，其整个网络跟单层神经网络也是等价的。因此也可以认为，只有加入了激活函数之后，深度神经网络才具备了分层的非线性映射学习能力。 那么激活函数应该具有什么样的性质呢？
- 可微性： 当优化方法是基于梯度的时候，这个性质是必须的。
- 单调性： 当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。
- 输出值的范围： 当激活函数输出值是 有限 的时候，基于梯度的优化方法会更加 稳定，因为特征的表示受有限权值的影 响更显著;当激活函数的输出是 无限 的时候，模型的训练会更加高效，不过在这种情况小，一般需要更小的learning rate
从目前来看，常见的激活函数多是分段线性和具有指数形状的非线性函数
sigmoid
f(x)=11+e−xf(x)=\frac{1}{1+e^{−x}}f(x)=1+e−x1
sigmoid 是使用范围最广的一类激活函数，具有指数函数形状，它在物理意义上最为接近生物神经元。此外，(0, 1) 的输出还可以被表示作概率，或用于输入的归一化，代表性的如Sigmoid交叉熵损失函数。
然而，sigmoid也有其自身的缺陷，最明显的就是饱和性。从上图可以看到，其两侧导数逐渐趋近于0
limx−>∞f′(x)=0\lim \limits_{x−>∞} f′(x)=0x−>∞limf′(x)=0
具有这种性质的称为软饱和激活函数。具体的，饱和又可分为左饱和与右饱和。与软饱和对应的是硬饱和, 即
f′(x)=0，当∣x∣>c，其中c为常数。f′(x)=0，当|x|>c，其中c为常数。f′(x)=0，当∣x∣>c，其中c为常数。
sigmoid 的软饱和性，使得深度神经网络在二三十年里一直难以有效的训练，是阻碍神经网络发展的重要原因。具体来说，由于在后向传递过程中，sigmoid向下传导的梯度包含了一个 f′(x)f′(x) 因子（sigmoid关于输入的导数），因此一旦输入落入饱和区，f′(x)f′(x) 就会变得接近于0，导致了向底层传递的梯度也变得非常小。此时，网络参数很难得到有效训练。这种现象被称为梯度消失。一般来说， sigmoid 网络在 5 层之内就会产生梯度消失现象
此外，sigmoid函数的输出均大于0，使得输出不是0均值，这称为偏移现象，这会导致后一层的神经元将得到上一层输出的非0均值的信号作为输入。
tanh
f(x)=1−e−2x1+e−2xf(x)=\frac{1−e^{−2x}}{1+e^{−2x}}f(x)=1+e−2x1−e−2x
tanh也是一种非常常见的激活函数。与sigmoid相比，它的输出均值是0，使得其收敛速度要比sigmoid快，减少迭代次数。然而，从途中可以看出，tanh一样具有软饱和性，从而造成梯度消失。
ReLU，P-ReLU, Leaky-ReLU
f(x)={x,ifx≥00,ifx<0f(x)=max(0,x)
f(x)=
\begin{cases}
x, & ifx≥0\\
0, & ifx<0
\end{cases} \\
f(x)=\max(0,x)
f(x)={x,0,ifx≥0ifx<0f(x)=max(0,x)
ReLU的全称是Rectified Linear Units，是一种后来才出现的激活函数。 可以看到，当x<0时，ReLU硬饱和，而当x>0时，则不存在饱和问题。所以，ReLU 能够在x>0时保持梯度不衰减，从而缓解梯度消失问题。这让我们能够直接以监督的方式训练深度神经网络，而无需依赖无监督的逐层预训练。
然而，随着训练的推进，部分输入会落入硬饱和区，导致对应权重无法更新。这种现象被称为“神经元死亡”。与sigmoid类似，ReLU的输出均值也大于0，偏移现象和 神经元死亡会共同影响网络的收敛性。
针对在x<0的硬饱和问题，我们对ReLU做出相应的改进，使得
f(x)={x,ifx≥0ax,ifx<0
f(x)=
\begin{cases}
x, & ifx≥0\\
ax, & ifx<0
\end{cases} \\
f(x)={x,ax,ifx≥0ifx<0
这就是Leaky-ReLU, 而P-ReLU认为，αα也可以作为一个参数来学习，原文献建议初始化a为0.25，不采用正则。
ELU
f(x)={x,ifx≥0α(ex−1),ifx<0
f(x)=
\begin{cases}
x, & ifx≥0\\
\alpha(e^x−1), & ifx<0
\end{cases} \\
f(x)={x,α(ex−1),ifx≥0ifx<0
融合了sigmoid和ReLU，左侧具有软饱和性，右侧无饱和性。右侧线性部分使得ELU能够缓解梯度消失，而左侧软饱能够让ELU对输入变化或噪声更鲁棒。ELU的输出均值接近于零，所以收敛速度更快。在 ImageNet上，不加 Batch Normalization 30 层以上的 ReLU 网络会无法收敛，PReLU网络在MSRA的Fan-in （caffe ）初始化下会发散，而 ELU 网络在Fan-in/Fan-out下都能收敛
Maxout
f(x)=max(w1Tx+b1,w2Tx+b2,⋯,wnTx+bn)f(x)=max(w_1^Tx+b_1,w_2^Tx+b_2,⋯,w_n^Tx+b_n)f(x)=max(w1Tx+b1,w2Tx+b2,⋯,wnTx+bn)
在我看来，这个激活函数有点大一统的感觉，因为maxout网络能够近似任意连续函数，且当w2,b2,…,wn,bn为0时，退化为ReLU。Maxout能够缓解梯度消失，同时又规避了ReLU神经元死亡的缺点，但增加了参数和计算量。
3.2 损失函数
在之前的内容中，我们用的损失函数都是平方差函数，即
C=12(a−y)2C=\frac{1}{2}(a−y)2C=21(a−y)2
其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出（a=σ(Wx+b)a=σ(Wx+b)。也就是说，当神经元的实际输出与我们的期望输出差距越大，代价就越高。想法非常的好，然而在实际应用中，我们知道参数的修正是与∂C∂W∂C∂W和∂C∂b∂C∂b成正比的，而根据
∂C∂W=(a−y)σ′(a)xT∂C∂b=(a−y)σ′(a)\frac{∂C}{∂W}=(a−y)σ′(a)x^T\\
\frac{∂C}{∂b}=(a−y)σ′(a)∂W∂C=(a−y)σ′(a)xT∂b∂C=(a−y)σ′(a)
我们发现其中都有σ′(a)σ′(a)这一项。因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会造成饱和现象，从而使得参数的更新速度非常慢，甚至会造成离期望值越远，更新越慢的现象。那么怎么克服这个问题呢？我们想到了交叉熵函数。我们知道，熵的计算公式是
H(y)=−∑iyilog(yi)H(y)=−∑_iy_ilog(y_i)H(y)=−i∑yilog(yi)
而在实际操作中，我们并不知道y的分布，只能对y的分布做一个估计，也就是算得的a值, 这样我们就能够得到用a来表示y的交叉熵
H(y,a)=−∑iyilog(ai)H(y,a)=−∑_iy_ilog(a_i)H(y,a)=−i∑yilog(ai)
如果有多个样本，则整个样本的平均交叉熵为
H(y,a)=−1n∑n∑iyi,nlog(ai,n)H(y,a)=−\frac{1}{n}\sum_n\sum_iy_{i,n}log(a_{i,n})H(y,a)=−n1n∑i∑yi,nlog(ai,n)
其中n表示样本编号,i表示类别编。 如果用于logistic分类，则上式可以简化成
H(y,a)=−1n∑nylog(a)+(1−y)log(1−a)H(y,a)=−\frac{1}n\sum_nylog(a)+(1−y)log(1−a)H(y,a)=−n1n∑ylog(a)+(1−y)log(1−a)
与平方损失函数相比，交叉熵函数有个非常好的特质，
H′=1n∑(an−yn)=1n∑(σ(zn)−yn)H′=\frac{1}{n}\sum(a_n−y_n)=\frac{1}{n}\sum(σ(z_n)−y_n)H′=n1∑(an−yn)=n1∑(σ(zn)−yn)
可以看到其中没有了σ′σ′σ′σ′σ′σ′这一项，这样一来也就不会受到饱和性的影响了。当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。这是一个很好的性质。
