背包问题（01背包与完全背包）

dp考虑两个方面，包括如何表示状态（维度，属性（min、max、cnt）），如何计算当前状态（状态转移方程）。dp问题的优化一般是对状态转移方程进行等价变形。

01背包问题

有n个物品和一个容量为V的背包。

每个物品有两个属性，包括所占用的体积v以及拥有的价值w，每件物品只能用一次。

求背包能装得下的情况下所能拥有的最大价值为多少。

f[i, j] = max(f[i-1, j], f[i, j-v] + w

滚动数组优化

能发现，f[i][j] 的状态转移仅使用到了 f[i-1][...]，故可以采用滚动数组来做。即当前层的状态转移仅与上一层有关
当前层是 i & 1，上一层是 i-1 & 1

完全背包问题

与01背包的区别在于，每件物品可以拿无数次。

优化过程

f[i, j] = max(f[i-1, j], f[i-1, j-v]+w, f[i-1, j-2v]+2w, f[i-1, j-3v]+3w ...)
对比：
f[i, j-v] = max(f[i-1, j-v], f[i-1, j-2v]+w, f[i-1, j-3v]+2w ...)

也就是

f[i][j]    =max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w, f[i-1][j-2v]+2w, f[i-1][j-3v]+3w,...)
f[i][j-v]  =max(           f[i-1][j-v], f[i-1][j-2v]+w, f[i-1][j-3v]+2w, f[i-1][j-4v]+3w,...)
f[i][j-v]+w=max(           f[i-1][j-v]+w, f[i-1][j-2v]+2w, f[i-1][j-3v]+3w, f[i-1][j-4v]+4w,...)

1）通过两项对比，可以得出结论，可省掉一重循环

f[i, j] = max(f[i][j], f[i][j-v]+w)

所以实际上多重背包的本质也还是01背包

但是01背包问题为从后往前面推导，完全背包问题为从前往后推导

2）同时，对状态存储进行优化，还可以省略掉一维数组

f[j] = max(f[j], f[j-v]+ w)

3）完全背包问题实际上求得的是某一个数组区间内的最大值，也可以视作滑动窗口最大值，对于该问题即可利用单调队列进行优化

习题讲解

1. 最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n (n \leq 5000)$ 个不超过 $10^{6}$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$ ，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

提示

分别取出 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 即可。

代码参考

//B3637
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[5005], f[5005];

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
        f[i] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i-1; j++){
            if(a[i] > a[j])     f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans = max(ans, f[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

2. NASA的食物计划

题目背景

NASA（美国航空航天局）因为航天飞机的隔热瓦等其他安全技术问题一直大伤脑筋，因此在各方压力下终止了航天飞机的历史，但是此类事情会不会在以后发生，谁也无法保证。所以，在遇到这类航天问题时，也许只能让航天员出仓维修。但是过多的维修会消耗航天员大量的能量，因此 NASA 便想设计一种食品方案，使体积和承重有限的条件下多装载一些高卡路里的食物。

题目描述

航天飞机的体积有限，当然如果载过重的物品，燃料会浪费很多钱，每件食品都有各自的体积、质量以及所含卡路里。在告诉你体积和质量的最大值的情况下，请输出能达到的食品方案所含卡路里的最大值，当然每个食品只能使用一次。

输入格式

第一行 $2$ 个整数，分别代表体积最大值 $h$ 和质量最大值 $t$ 。

第二行 $1$ 个整数代表食品总数 $n$ 。

接下来 $n$ 行每行 $3$ 个数体积 $h_{i}$ ，质量 $t_{i}$ ，所含卡路里 $k_{i}$ 。

输出格式

一个数，表示所能达到的最大卡路里（int 范围内）

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

对于 $100 %$ 的数据， $h, t, h_{i}, t_{i} \leq 400$ ， $n \leq 50$ ， $k_{i} \leq 500$ 。

代码参考

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int v[55], m[55], kolo[55];
//dp数组
int f[55][405][405];

int main(){
    int v_max, m_max;
    int N;
    int t1, t2;
    cin >> v_max >> m_max;
    cin >> N;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> v[i] >> m[i] >> kolo[i];
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = 0; j <= v_max; j++)
            for(int k = 0; k <= m_max; k++){
                t1 = v[i];
                t2 = m[i];
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k];
                if(j >= t1 && k >= t2)
                f[i][j][k] = max(f[i-1][j][k], f[i-1][j-t1][k-t2]+kolo[i]);
            }
    }
    cout << f[N][v_max][m_max];
    return 0;
}

3. [NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1 - 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_{j}$ ，重要度为 $w_{j}$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ ，则所求的总和为：

$v_{j_{1}} \times w_{j_{1}} + v_{j_{2}} \times w_{j_{2}} \dots + v_{j_{k}} \times w_{j_{k}}$ 。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为 $2$ 个正整数，用一个空格隔开： $n, m$ （ $n < 30000, m < 25$ ）其中 $n$ 表示总钱数， $m$ 为希望购买物品的个数。

从第 $2$ 行到第 $m + 1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j - 1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v, p$ （其中 $v$ 表示该物品的价格 $(v \leq 10000)$ ， $p$ 表示该物品的重要度（ $1 \leq p \leq 5$ ）。

输出格式

$1$ 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ $< 100000000$ ）。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

NOIP 2006 普及组第二题

代码参考

//P2725
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
//f[i][j]数组代表当选到第i个物品，花了j元时，所能得到的价格与权重的乘积和最大值
int f[30][30005];
struct wp{
    int v, p;
}w[30];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)     cin >> w[i].v >> w[i].p;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(j >= w[i].v)     f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i].v] + w[i].v * w[i].p);
            else    f[i][j] = f[i-1][j];
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, f[m][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

4. [USACO3.1] 邮票 Stamps

题目描述

给一组 $n$ 枚邮票的面值集合和一个上限 $k$ —— 表示信封上能够贴 $k$ 张邮票。请求出最大的正整数 $m$ ，满足 $1$ 到 $m$ 的面值都可以用不超过 $k$ 张邮票表示出来。

输入格式

输入的第一行是两个整数，分别代表邮票上限 $k$ 和邮票面值数 $n$ 。

自第二行起，除最后一行外，每行有 $15$ 个整数 $a_{i}$ ，最后一行的整数个数不超过 $15$ ，共有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数代表第 $i$ 种邮票的面值 $a_{i}$ 。

输出格式

输出一行一个整数代表 $m$ 。若 $m$ 不存在请输出 $0$ 。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1 3

样例输出 #1

提示

样例输入输出 1 解释

有 $1$ 分和 $3$ 分的邮票；你最多可以贴 $5$ 张邮票。很容易贴出 $1$ 到 $5$ 分的邮资（用 $1$ 分邮票贴就行了），接下来的邮资也不难：

$6 = 3 + 3$ 。
$7 = 3 + 3 + 1$ 。
$8 = 3 + 3 + 1 + 1$ 。
$9 = 3 + 3 + 3$ 。
$10 = 3 + 3 + 3 + 1$ 。
$11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1$ 。
$12 = 3 + 3 + 3 + 3$ 。
$13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1$ 。

然而，使用 $5$ 枚 $1$ 分或者 $3$ 分的邮票根本不可能贴出 $14$ 分的邮资。因此，答案为 $13$ 。

数据规模与约定

对于 $100 %$ 的数据，保证 $1 \leq k \leq 200$ ， $1 \leq n \leq 50$ ， $1 \leq a_{i} \leq 10^{4}$ 。

说明

题目翻译来自 NOCOW。

代码参考

//P2725
//完全背包
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[55];
//f[i]记录面值为i时最少需要的邮票数
int f[2000005];

int main(){
    int n, k;
    cin >> k >> n;
    memset(f, 0x3f3f3f,sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)     cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= 2000000; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(i >= a[j])     f[i] = min(f[i-a[j]]+1, f[i]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= 2000000; i++){
        if(f[i] > k){
            cout << i-1 << endl;
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}

5.机器分配

题目描述

总公司拥有高效设备 $M$ 台，准备分给下属的 $N$ 个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这 $M$ 台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中 $M \leq 15$ ， $N \leq 10$ 。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 $M$ 。

输入格式

第一行有两个数，第一个数是分公司数 $N$ ，第二个数是设备台数 $M$ 。

接下来是一个 $N \times M$ 的矩阵，表明了第 $i$ 个公司分配 $j$ 台机器的盈利。

输出格式

第一行为最大盈利值。

接下来 $N$ 行为第 $i$ 分公司分 $x$ 台。

P.S. 要求答案的字典序最小。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

代码参考

//P2066
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[15][20];
//f[i][j]代表取到第i家公司，用掉了j台设备时，能够获得的利益最大值
ll f[15][20];
//存答案
ll cnt[15][20][2];
ll cnt2[15];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            for(int k = 0; k <= j; k++){
                if(f[i][j] <= f[i-1][j-k] + a[i][k]){
                    f[i][j] = f[i-1][j-k] + a[i][k];
                    cnt[i][j][0] = k;
                    cnt[i][j][1] = j-k;
                }
            }
        }
    }
    //输出最大值
    ll ans = 0, t = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        if(ans <= f[n][i]){
            t = i;
            ans = f[n][i];
        }
    }
    cout << ans << endl;
    //输出每一项数量
    for(int i = n; i >= 1; i--){
        cnt2[i] = cnt[i][t][0];
        t = cnt[i][t][1];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)     cout << i << " " << cnt2[i] << endl;
    return 0;
}

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本文作者：hsy2093

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