二分算法习题汇总

二分算法习题汇总

一、复制书稿

题目描述

现在要把 $m$ 本有顺序的书分给 $k$ 个人复制（抄写），每一个人的抄写速度都一样，一本书不允许给两个（或以上）的人抄写，分给每一个人的书，必须是连续的，比如不能把第一、第三、第四本书给同一个人抄写。

现在请你设计一种方案，使得复制时间最短。复制时间为抄写页数最多的人用去的时间。

输入格式

第一行两个整数 $m,k$。

第二行 $m$ 个整数，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 本书的页数。

输出格式

共1行：分配给抄写员的页数的最大值

样例 #1

样例输入 #1

9 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9

样例输出 #1

17

提示

$1\le k\le m\le 500$。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int M, K;
int page[505];

//判别答案合法性
bool check(int num){
    int group = 1, rest = num;
    for(int i = 0; i < M; i++){
        //如果这个人当前可以抄的上限页数大于当前这本书书的页数，就交给他抄，不用新增人。
        if(rest >= page[i]) rest -= page[i];
        //如果这个人抄不了这本书，就要再来一个人，并且更新他的上限页数。
        else{
            group ++;
            rest = num - page[i];
            if(rest < 0)
                return false;
        }
    }
    //group表示最少需要多少个人
    return group <= K;
}

int main(){
    cin >> M >> K;
    int sum = 0;
    int l = 0, r, mid;
    for(int i = 0; i < M; i++){
        cin >> page[i];
        sum += page[i];
    }
    r = sum;
    while(l < r){
        mid = (l + r) >> 1;
        //如果mid合法，则在左区间寻找答案
        if(check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    cout << l << endl;
}

二、 青蛙（frog）

题目描述

小 L 向一所小学捐赠了一些青蛙，这些青蛙一共有 $M$ 种品种，每只青蛙都属于一种品种。

老师需要把所有的青蛙分给 $N$ 个孩子。每个孩子得到的所有青蛙都必须属于相同的品种，而且可以有一些孩子一只青蛙也没得到。

我们把怄火值定义为得到青蛙最多的孩子得到的青蛙数量。请你帮助老师分青蛙，使得怄火值最小。

例如，如果有 $4$ 只红品种的青蛙（$\mathtt{\text{RRRR}}$）和 $7$ 个蓝品种的青蛙（$\mathtt{\text{BBBBBBB}}$），要分给 $5$ 个孩子，

那么我们可以这样划分：$\mathtt{\text{RR}}$，$\mathtt{\text{RR}}$，$\mathtt{\text{BB}}$，$\mathtt{\text{BB}}$，$\mathtt{\text{BBB}}$。这样分的怄火值为 $3$，是最小的。

输入格式

第一行两个正整数，$N,M$，含义如题目所示。

第二行 $M$ 个整数，表示第 $M$ 个品种的青蛙有几只，保证每个品种的青蛙的数量都在 $[1,{10}^9]$ 中。

输出格式

一行一个整数，表示最小的怄火值。

样例 #1

样例输入 #1

7 4
1 2 3 4

样例输出 #1

2

提示

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le M\le 10$。

对于另外 $30\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le M\le 1000$，$1\le N\le 10000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le M\le 3\times {10}^5$，$1\le N\le {10}^9$，$M\le N$。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[300005];
int n, m;

bool check(int mid){
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        if(a[i] % mid == 0)     cnt += (a[i]/mid);
        else    cnt += (a[i]/mid+1);
        if(cnt > n)     return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int maxx = 0;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> a[i];
        maxx = max(maxx, a[i]);
    }
    int l = 1, r = maxx;
    while(l < r){
        int mid = (l+r) / 2;
        if(check(mid))    r = mid;
        else    l = mid + 1;
    }
    cout << r << endl;
}

三、平均数

题目描述

给一个长度为 $n$ 的数列，我们需要找出该数列的一个子串，使得子串平均数最大化，并且子串长度 $\ge m$。

输入格式

第一行两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $n$ 行，每行一个整数 $a_i$，表示序列第 $i$ 个数字。

输出格式

一个整数，表示最大平均数的 $1000$ 倍，如果末尾有小数，直接舍去，不要用四舍五入求整。

样例 #1

样例输入 #1

10 6
6
4
2
10
3
8
5
9
4
1

样例输出 #1

6500

提示

数据规模与约定

• 对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $m\le n\le {10}^4$；
• 对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le m\le n\le {10}^5$，$0\le a_i\le 2000$。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
long long a[100005], sum[100005];
long long n, m, maxx = 0;
bool check(long long mid){
    long long minn = 1e15;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        sum[i] = sum[i-1] + a[i] - mid;
        if(i >= m){
            //可能为一个负值
            minn = min(minn, sum[i-m]);
            if(sum[i] >= minn)  return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
        a[i] *= 10000;
        if(maxx < a[i]) maxx = a[i];
    }
    long long l = 0, r = maxx, mid;
    while(l < r){
        mid = (l+r+1) / 2;
        if(check(mid))  l = mid;
        else       r = mid-1;
    }
    cout << l / 10 << endl;
    return 0;
}

四、查询(query)

题目描述

青蛙老师有三个长度为 $n$ 的数组 $a,b,c$。

给定一个正整数 $k$，他想知道在所有 $n^2$ 个二元组 $(i,j)(1\le i\le n,1\le j\le n)$ 中，$a_j+b_j\times c_i$ 的第 $k$ 小值是多少。

但是他不会做，于是将问题交给你了。

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示数组长度。

第二行 $n$ 个正整数，依次表示 $a_1,a_2,\cdots a_n$。

第三行 $n$ 个正整数，依次表示 $b_1,b_2,\cdots b_n$。

第四行 $n$ 个正整数，依次表示 $c_1,c_2,\cdots c_n$。

接下来一行，一个正整数 $k$，含义如题所述。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例#1

样例输入#1

5
1 3 6 4 1
3 8 9 2 6
5 6 5 3 2
10

样例输出#1

16

数据范围

对于 $16\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $n\le 100,1\le a_i,b_i,c_i\le 1000$。

对于另外 $16\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $n\le 1000$。

对于另外 $16\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $k\le n,1\le a_i,b_i,c_i\le 1000$。

对于另外 $24\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $k\le n$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $n\le {10}^5,1\le k\le n^2,1\le a_i,b_i,c_i\le {10}^9$。

代码实现

//query.cpp
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll a[100005], b[100005], c[100005];
ll n, k;

bool check(ll x){
    ll cnt = 0;
    //当固定i时，有多少个c满足乘积结果小于x的情况
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ll l = 0, r = n;
        while(l < r){
            ll mid = (l + r + 1) / 2;
            if(a[i] + b[i] * c[mid] >= x)    r = mid-1;
            else    l = mid;
        }
        cnt += l;
    }
    if(cnt >= k)     return true;
    else        return false;
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)     cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)     cin >> b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)     cin >> c[i];
    cin >> k;
    sort(c+1, c+n+1);
    ll l = 0, r = 1e19;
    //固定i，找对应的j
    while(l < r){
        ll mid = (l + r + 1) / 2;
        //check合法证明序列中有k个数或大于k个数小于mid，所以mid应该往更小的地方找
        if(check(mid))          r = mid - 1;
        //否则要往大了找
        else    l = mid;
    }
    cout << r << endl;
    return 0;
}