算法与算法分析—时间复杂度、空间复杂度

算法与算法分析

• 算法的定义

  对特定问题求解方法和步骤的一种描述，它是指令的有限序列。其中每个指令表示一个或多个操作。

• 算法的描述

  • 自然语言：英语、中文(麻烦)

  • 流程图：传统流程图（框图)——开始结束用圆角矩形，输入输出用平行四边形，操作用矩形，判断用菱形

    NR流程图(盒图)

  • 伪代码：类语言——类C语言

  • 程序代码：C语言程序、Java语言程序

     

• 算法与程序

  • 算法是解决问题的一种方法或一个过程，考虑如何将输入转换成输出，一个问题可以有多种算法

  • 程序是用某种程序设计语言对算法的具体实现

    程序=数据结构+算法

    数据结构通过算法实现操作

    算法根据数据结构设计程序

     

• 算法特性：一个算法必须具备以下五个重要特性

  • 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成

  • 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义，没有二义性，在任何条件下，只有唯一的一条执行路径，即对于相同的输入只能得到相同的输出

  • 可行性：算法是可执行的，算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现

  • 输入：一个算法有零个或多个输入

  • 输出：一个算法有一个或多个输出

• 算法设计的要求

  • 正确性

  • 可读性

  • 健壮性

  • 高效性

• 算法效率

  1. 时间效率

  2. 空间效率

     • 时间效率和空间效率有时候是矛盾的，需要结合具体要求综合的平衡考虑

        

• 算法效率度量

  • 事前分析： 算法运行时间=∑每条语句的执行次数（语句频度)*该语句执行一次所需时间

    • 算法时间复杂度

      T(n)=2n³+3n²+n+1

    当n->∞ 时 得到f(n)=n³ T(n)=O(n³)

    算法的渐进时间复杂度：T(n)=O(f(n)) （O是数量级的符号）

    1. 找出语句频度最大的那条语句作为基本语句

    2. 计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)

    3. 取其数量级用符号O表示

    4. 时间复杂度是由嵌套最深层语句的频度决定的

    5. 直接看循环体更简单

       x=0;
       y=0;
       for(int k=0;k<n;k++)          //n+1
           x++;                      //n
       for(int i=0;i<n;i++)           //n+1         
           for(int j=0;j<n;j++)      //n*(n+1)      n*n f(n)=n*n
               y++;                 //n*n

        

       i=1;
       while(i<=n)
           i=i*2;         
       /*i=2 
        i=2*2
        i=2*2*2
        ……
        i=2^x
        执行次数x
        i<=n 则 2^x<=n
        x<=log2^n
        f(n)=x=log2^n
        T(n)=O(log2^n) 或O(logn)
        */

        

    6. 最坏时间复杂度

    7. 平均时间复杂度

    8. 最好时间复杂度

       • 算法空间复杂度

         将一维数组a中的n个数逆序存放到原数组中

         for(i=0;i<n/2;i++){
             t=a[i];
             a[i]=a[n-i-1];
             a[n-i-1]=t;
         }  // S(n)=O(1) 原地工作

          

         for(i=0;i<n;i++)
             b[i]=a[n-i-1];
         for(i=0;i<n;i++)
             a[i]=b[i]; // S(n)=O(n)

          

  • 事后分析：将算法实现去测算

    缺点：依赖于计算机软硬件等环境因素影响