Codeforces 380 简要题解

ABC见上一篇。

 感觉这场比赛很有数学气息。

D：

　　显然必须要贴着之前的人坐下。

　　首先考虑没有限制的方案数。就是2^{n - 1}（我们把1固定，其他的都只有两种方案，放完后长度为n）

　　我们发现对于一个限制，比它小的限制只有可能在它的一边。

　　于是对于有限制的一段，我们可以找到最靠近边界的两个限制，取其中最大的限制，递归计算向比它小的限制的方向走它的限制步所覆盖的一段，这一段应该包含目前区间内所有的限制，剩下的就是没有限制的，可以直接计算。

mycode：

/* 
 * Problem: Sereja and Cinema
 * Author: Shun Yao
 */

#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <utility>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>

//using namespace std;

const int MAXN = 100010, MOD = 1000000007LL;

int n, a[MAXN], sum[MAXN];
long long inv[MAXN], f[MAXN], finv[MAXN];

long long comb(int x, int y) {
	return f[x + y] * finv[x] % MOD * finv[y] % MOD;
}

long long func(int l, int r) {
	long long ans;
	if (sum[l - 1] == sum[r]) {
		ans = 1;
		int i;
		for (i = l; i < r; ++i)
			ans = (ans << 1) % MOD;
		return ans;
	}
	int p, q;
	for (p = l; p <= r; ++p)
		if (a[p])
			break;
	for (q = r; q >= l; --q)
		if (a[q])
			break;
	if (p == q && a[p] == 1)
		return comb(p - l, r - p);
	ans = 0;
	int x, y;
	if (a[p] >= a[q]) {
		x = p;
		y = x + a[p] - 1;
		if (y >= q && y <= r)
			ans += func(x + 1, y) * comb(x - l, r - y);
	}
	if (a[p] <= a[q]) {
		y = q;
		x = y - a[q] + 1;
		if (x >= l  && x <= p)
			ans += func(x, y - 1) * comb(x - l, r - y);
	}
	return ans % MOD;
}

int main(/*int argc, char **argv*/) {
	int i;
	
	scanf("%d", &n);
	sum[0] = 0;
	for (i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d", &a[i]);
		sum[i] = sum[i - 1] + (a[i] != 0);
	}
	inv[1] = 1;
	for (i = 2; i < MAXN; ++i)
		inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
	f[0] = finv[0] = 1;
	for (i = 1; i < MAXN; ++i) {
		f[i] = f[i - 1] * i % MOD;
		finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MOD;
	}
	printf("%I64d", func(1, n));
	
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

 E：

　　这个题目我们可以发现实际上就是取一个区间的数集{a[i]},所求就是:1/2 * a[1] + 1/4 * a[2] + 1/8 * a[3] + ……，由于精度所以我们可以忽视a[50]以后的。

　　我们可以考虑一个数为结果带来的代价。我们考虑比V大的数，Let the position of elements on the left: p₁> p₂> ... > P_s1. And positions right: q₁ < q₂ < ... < q_s2.这样它带来的代价就是。

　　mycode:

/* 
 * Problem: Sereja and Dividing
 * Author: Shun Yao
 */

#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <utility>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>

//using namespace std;

const int MAXN = 300010;

int n, a[MAXN];
std::vector<std::pair<int, int> > v;
std::set<int> s;

double solve(int x) {
    double two, c1, c2;
    int cnt, prev, y;
    s.insert(x);
    std::set<int>::iterator it = s.find(x);
    two = 1.0;
    cnt = 0;
    prev = x;
    c1 = 0.0;
    while (cnt < 50) {
        y = *(--it);
        c1 += (prev - y) * two;
        if (y == 0)
            break;
        ++cnt;
        two /= 2.0;
        prev = y;
    }
    it = s.find(x);
    two = 1.0;
    cnt = 0;
    prev = x;
    c2 = 0.0;
    while (cnt < 50) {
        y = *(++it);
        c2 += (y - prev) * two;
        if (y == n + 1)
            break;
        ++cnt;
        two /= 2.0;
        prev = y;
    }
    return c1 * c2;
}

int main(/*int argc, char **argv*/) {
    int i;
    double ans;
    
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", a + i);
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        v.push_back(std::make_pair(-a[i], i));
    std::sort(v.begin(), v.end());
    s.insert(0);
    s.insert(n + 1);
    ans = 0.0;
    for (i = 0; i < n; ++i)
        ans += solve(v[i].second) * a[v[i].second];
    printf("%.9lf", ans / 2.0 / n / n);
    
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}