扩展欧几里得算法 hdu 1576 A/B

 

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A/B 扩展欧几里得算法

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

 

 

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

 

 

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

 

 

Sample Input

2

1000 53

87 123456789

 

 

Sample Output

7922

6060

 解：

因为A%9973=n,所以令A=n+9973*y；再设A/B=x，则得到B*x-9973*Y=n；因为gcd（B，9973）=1；所以B，9973互质，所以用扩展欧几里得算法（模板）即可；

__int64 Extended_Euclid(__int64 a,__int64 b,__int64& x,__int64& Y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    __int64 r=Extended_Euclid(b,a%b,x,y)
    __int64 temp=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r; //r为a,b的最大公约数
}

注意该模板只能在C++ 中使用，因为模板中使用了引用‘&’；

 

（注意：__ int64(两个下划线)：标准的64位int型           _int64(一个下划线)：VC++里面的）

扩展欧几里德算法：
　　扩展欧几里德算法是用来在已知的非负整数（否则需要将式子变形，如求5x-13y=1的解则变形为5x+(-13y)=1,然后再对结果做处理即可）a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

下面是一个使用C++的实现：
　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　return a; ---很难找出一个这么实现的价值，因为扩展欧几里得还有更大的用途；个人认为定义全局数组更好,不用return r。
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　return r;
　　}
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以证明p0为0附近的最小解，*p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
　　p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
　　q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数，p,q中的t相同)
　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可
　　在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是
　　得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：
　　p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
　　q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数，p,q中的t相同)
　　p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

 

更多参考：

http://baike.baidu.com/view/1478219.htm

 

代码：

// Note:Your choice is C++ IDE
#include <iostream>
using namespace std;
#define k 9973
int uex(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int r;
    int t;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    r=uex(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    int T,t,n,b,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&b);
        uex(b,k,x,y);
        x*=n;
        if(x<0)
        {
            t=-x;
            t=t%k;
            x=k-t;     //或者不用t变量  直接x=k-(-x)%k;或者用while(x<0){x+=k/1;},不过不推荐使用，因为可能会超时！最好用 x=(x%k+k)%k即可，if语句也不用了;  
        }
        printf("%d\n",x%k);
    }
    return 0;
}