后缀数组 SA 学习笔记 （一）
好像有一些图片炸了，慢慢修
后缀数组 SA 学习笔记 （一）
目录
计数排序 Counting Sort
非比较型，稳定性
Code
int mx=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&x[i]);
mx=max(mx,x[i]);
}
for(int i=1;i<=n;++i)cnt[x[i]]++;
for(int v=1;v<=mx;++v)cnt[v]+=cnt[v-1];
for(int i=n;i>=1;--i)y[cnt[x[i]]--]=x[i];
//填入数值的顺序不影响正确性
//但是倒序填写保证稳定性
cnt[v] 的含义在变化，共有三种含义：
- 表示 x[] 中 v 这个数值的出现次数
- 表示 x[] 中小于等于 v 的数值的出现次数
- 下一次 v 出现时所放的 y[] 中的位置
负整数的处理：
- 数值整体平移
- map
要素提炼：3 步
- 计数器数组
- 计数器前缀和
- 倒序定排名
桶排序 Bucket Sort
本质：值域范围分块为桶，桶内再排序
计数排序是特殊的桶排序
基数排序 Radix Sort
逐位进行多轮计数排序
非比较型，稳定性
e.g.
基数为 10
位数不足补前缀 0
Code
//基数为 10
const int B=10;
int POW[20]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000};
int digit(int val,int p){
return val/POW[p]%B;
}
int mx=9;
for(int p=0;p<=6;p++){
memset(cnt,0,(mx+1)*sizeof(int));
for(int i=1;i<=n;++i)key[i]=digit(x[i],p);
for(int i=1;i<=n;++i)cnt[key[i]]++;
for(int v=1;v<=mx;++v)cnt[v]+=cnt[v-1];
for(int i=n;i>=1;--i)y[cnt[key[i]]--]=x[i];
memcpy(x+1,y+1,n*sizeof(int));
}
复杂度 : \(O(n \log R)\)
id[ ] 和 rk[ ]
id[i] 表示排序后第 i 个原来是第几个
rk[i] 代表原来第 i 个排序后是第几个
互逆关系：
id[rk[i]]=i;
rk[id[i]]=i;
e.g.
| \(\rm i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x[i] | 11 | 8 | 9 | 5 | 12 | 3 | 15 | 6 | 18 | 7 |
| id[i] | 6 | 4 | 8 | 10 | 2 | 3 | 1 | 5 | 7 | 9 |
| rk[i] | 7 | 5 | 6 | 2 | 8 | 1 | 9 | 3 | 10 | 4 |
后缀数组 Suffix Array
基础概念
对字符串所有后缀串按照字典序排序
难点：不能够显性地将所有的后缀列举出来
每个后缀串对应其开头位置
sa[r] 表示将所有后缀串排序后第 r 小的后缀的开头位置
rk[id] 表示 id 号开头的后缀串的排名
互逆关系
sa[rk[id]]=id;
rk[sa[r]]=r;
已知 sa[] 求 rk[]
e.g.
| \(\rm i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| sa[] | 4 | 3 | 2 | 5 | 1 |
| rk[] | 5 | 3 | 2 | 1 | 4 |
e.g. 已知字符串 s="yxyzxyz"
求 sa[] 和 rk[]
| \(\rm i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sa[] | 5 | 2 | 1 | 6 | 3 | 7 | 4 |
| rk[] | 3 | 2 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 |
后缀串长度不同，末位补空字符到相同长度
计算后缀数组
基数排序+广义子串长度倍增
不断对长度为 \(2^k\) 的广义子串排序
讨论
如何想到倍增
由排序对象的特殊性，思考重复信息再利用
路径1：1 位 --> 2 位 --> 3 位 --> 4 位
路径2：1 位 --> 2 位 --> 4 位 --> 8 位
Code
scanf("%s",s+1);
int len=strlen(s+1);
int mx=127;
for(int i=1;i<=len;++i)++cnt[rk[i]=s[i]];
for(int i=1;i<=mx;++i)cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=len;i>=1;--i)sa[cnt[rk[i]]--]=i;
之后倍增，第 k 轮前
sa[r] 表示将所有长度为 \(2^{k-1}\) 的子串排序后第 r 小的子串的开头位置
中间计算过程中，sa[] 和 rk[] 不对应后缀信息，也不满足互逆关系
for(int shft=1;shft<len;shft<<=1){
int j=0;
for(int i=len;i>len-shft;--i)id[++j]=i;
for(int r=1;r<=len;++r)
if(sa[r]>shft)id[++j]=sa[r]-shft; //低位关键字不需要计数排序，直接照抄上一轮的结果
memset(cnt,0,(1+mx)*sizeof(int));
for(int i=1;i<=len;++i)++cnt[key[i]=rk[id[i]]];
for(int v=1;v<=mx;++v)cnt[v]+=cnt[v-1];
for(int i=len;i>=1;--i)sa[cnt[key[i]]--]=id[i]; //高位关键字排序
memcpy(rkcpy+1,rk+1,len*sizeof(int));
int nVal=0;
for(int r=1;r<=len;r++)
rk[sa[r]]=eq(sa[r],sa[r-1],shft)?nVal:++nVal;
mx=nVal;
if(nVal<len)continue;
for(int i=1;i<=len;i++)sa[rk[i]]=i;
break;
}
bool eq(int x,int y,int shft){
return rkcpy[x]==rkcpy[y]&&
rkcpy[x+shft]==rkcpy[y+shft];
}
讨论
数组大小： rkcpy[ ] 的大小要翻倍
复杂度：\(O(n \log n)\)
KK3299.
Description
喜欢钻研问题的JS同学，最近又迷上了对加密方法的思考。一天，他突然想出了一种他认为是终极的加密办法 ：把需要加密的信息排成一圈，显然，它们有很多种不同的读法。例如下图，可以读作： JSOI07 SOI07J OI07JS I07JSO 07JSOI 7JSOI0
把它们按照字符串的大小排序：
07JSOI
7JSOI0
I07JSO
JSOI07
OI07JS
SOI07J
读出最后一列字符：I0O7SJ，就是加密后的字符串。想加密的字符串实在太长，你能写一个程序完成这个任务吗？
输入文件code.in 输入一个字符串 S 。注意字符串的内容不一定是字母、数字，也可以是符号等。保证 \(|S| \le 10^5\)
输出文件code.out 输出一个字符串。
Solution
将原字符串：断开+拉直+克隆
套用 SA 模板
将克隆串中长度大于等于原字符串长度的后缀串截掉尾部，然后做排序，再按照题意取出答案即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
char s[N];
int sa[N],rk[N],rkcpy[N<<1],id[N];
int key[N],cnt[N];
int len;
bool eq(int x,int y,int shft){
return rkcpy[x]==rkcpy[y]&&
rkcpy[x+shft]==rkcpy[y+shft];
}
void SA(){
int mx=127;
for(int i=1;i<=len;i++)++cnt[rk[i]=s[i]];
for(int i=1;i<=mx;i++)cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=len;i>=1;i--)sa[cnt[rk[i]]--]=i;
for(int shft=1;shft<len;shft<<=1){
int j=0;
for(int i=len;i>len-shft;i--)id[++j]=i;
for(int r=1;r<=len;r++)
if(sa[r]>shft)id[++j]=sa[r]-shft;
memset(cnt,0,(mx+1)*sizeof(int));
for(int i=1;i<=len;i++)++cnt[key[i]=rk[id[i]]];
for(int v=1;v<=mx;v++)cnt[v]+=cnt[v-1];
for(int i=len;i>=1;i--)sa[cnt[key[i]]--]=id[i];
memcpy(rkcpy+1,rk+1,len*sizeof(int));
int nVal=0;
for(int r=1;r<=len;r++)
rk[sa[r]]=eq(sa[r],sa[r-1],shft)?nVal:++nVal;
mx=nVal;
if(nVal<len)continue;
for(int i=1;i<=len;i++)
sa[rk[i]]=i;
break;
}
}
int main(){
scanf("%s",s+1);
int oldLen=strlen(s+1);
len=2*oldLen;
for(int i=1;i<=oldLen;i++)s[i+oldLen]=s[i];
SA();
for(int i=1;i<=len;i++)
if(sa[i]<=oldLen)printf("%c",s[sa[i]+oldLen-1]);
printf("\n");
// for(int i=1;i<=len;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
return 0;
}
