数学公式：点到直线的距离

求点到直线的距离，点 P(a,b)，直线 l 为 Ax + By + C = 0

过 P 点作垂直于 l 的直线 m
l的点斜式为

$$\begin{array}{rl}& x=-\frac{B}{A}y-\frac{C}{A}\\ & y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}$$

求垂直斜率，通过斜率相乘得-1求得。$k=\frac{B}{A}$
则 m 的点斜式方程为

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{B}{A}(x-a)+b\\ Ay& =B(x-a)+Ab\\ Ay& =Bx-Ba+Ab\\ -Bx& =-Ay-Ba+Ab\\ Bx& =Ay+Ba-Ab\end{array}$$

$$x=\frac{A}{B}y+a-\frac{Ab}{B}$$

$$y=\frac{B}{A}x-\frac{Ba}{A}+b$$

通过两个方程计算交点 Q 的坐标

求 x

$$\begin{array}{rl}-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}& =\frac{B}{A}x-\frac{Ba}{A}+b\\ -\frac{AAB}{B}x-\frac{ABC}{B}& =\frac{ABB}{A}x-\frac{ABBa}{A}+ABb\\ -A^{2}x-AC& =B^{2}x-B^{2}a+ABb\\ -B^{2}x-A^{2}x& =-B^{2}a+ABb+AC\\ A^{2}x+B^{2}x& =B^{2}a-ABb-AC\\ (A^2+B^2)x& =B^{2}a-ABb-AC\\ x& =\frac{B^{2}a-ABb-AC}{A^2+B^2}\end{array}$$

求 y

$$\begin{array}{rl}-\frac{B}{A}y-\frac{C}{A}& =\frac{A}{B}y+a-\frac{Ab}{B}\\ -\frac{ABB}{A}y-\frac{ABC}{A}& =\frac{ABA}{B}y+ABa-\frac{ABAb}{B}\\ -B^{2}y-BC& =A^{2}y+ABa-A^{2}b\\ -BC-ABa+A^{2}b& =(A^2+B^2)y\\ y& =\frac{A^{2}b-ABa-BC}{A^2+B^2}\end{array}$$

则点 Q坐标为

$$(\frac{B^{2}a-ABb-AC}{A^2+B^2},\frac{A^{2}b-ABa-BC}{A^2+B^2})$$

先求出了垂直线的方程，再求出了两直线的交点坐标，因此可以通过两点间距离公式算出点到直线的距离

$$\begin{array}{}\text{(1)}& |PQ|& =\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}\text{(2)}& & =\sqrt{(\frac{B^{2}a-ABb-AC}{A^2+B^2}-a{)}^2+(\frac{A^{2}b-ABa-BC}{A^2+B^2}-b{)}^2}\text{(3)}& & =\sqrt{(\frac{B^{2}a-ABb-AC-a(A^2+B^2)}{A^2+B^2}{)}^2+(\frac{A^{2}b-ABa-BC-b(A^2+B^2)}{A^2+B^2}{)}^2}\text{(4)}& & =\sqrt{(\frac{B^{2}a-ABb-AC-A^{2}a-B^{2}a}{A^2+B^2}{)}^2+(\frac{A^{2}b-ABa-BC-A^{2}b-B^{2}b}{A^2+B^2}{)}^2}\text{(5)}& & =\sqrt{(\frac{-ABb-AC-A^{2}a}{A^2+B^2}{)}^2+(\frac{-ABa-BC-B^{2}b}{A^2+B^2}{)}^2}\text{(6)}& & =\sqrt{(\frac{A(-Bb-C-Aa)}{A^2+B^2}{)}^2+(\frac{B(-Aa-C-Bb)}{A^2+B^2}{)}^2}\text{(7)}& & =\sqrt{(\frac{A^2(-Bb-C-Aa{)}^2}{(A^2+B^2{)}^2})+(\frac{B^2(-Aa-C-Bb{)}^2}{(A^2+B^2{)}^2})}\text{(8)}& & =\sqrt{(\frac{A^2(-Bb-C-Aa{)}^2+B^2(-Aa-C-Bb{)}^2}{(A^2+B^2{)}^2})}\text{(9)}& & =\sqrt{(\frac{A^2(-Aa-Bb-C{)}^2+B^2(-Aa-Bb-C{)}^2}{(A^2+B^2{)}^2})}\text{(10)}& & =\sqrt{(\frac{(A^2+B^2)(-Aa-Bb-C{)}^2)}{(A^2+B^2{)}^2})}\text{(11)}& & =\sqrt{(\frac{(-Aa-Bb-C{)}^2}{A^2+B^2})}\text{(12)}& & =\frac{|-(-Aa-Bb-C)|}{\sqrt{A^2+B^2}}\text{(13)}& & =\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{array}$$

算是推出来了吧，难受的很，好几次都因为前面算错了导致最后这步算不出来，浪费了很多时间