数学基础03-初等函数

初等函数

1 常值函数

常值函数 $y=c$ ，定义域为 $(- \infty,+\infty)$ ，值域为单点集 $\{c\}$

它的图像时平行于 $x$ 轴的直线

2 幂函数

幂函数 $y = x^{\mu}(\mu 是常数)$ ，其定义域随着 $\mu$ 不同而不同，图像也随着$\mu$ 的不同而有不用的形状。

常用的幂函数有以下几个$(\mu = 1,\frac{1}{2},-1,2,3)$，熟记图像

$y = x ^{-1}$ 反比例函数

3 指数函数

3.1 基本概念

正整数指数幂

$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 连乘

零指数幂

$a^0 = 1(a \neq 0)$

任何数的0次方都等于1

负整数指数幂

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}(a \neq 0,n \in N)$

正分数指数幂

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}(a \geq 0,m、n\in N且n>1,m、n互质)$

3.2 幂的运算法则

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

$a^m \div a^n = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{m\times n}$

$(ab)^n = a^n \times b^n$

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} = a^n \times b^{-n}$

3.3 定义

指数函数 $y = a^x(a>0,a \neq 1)$，定义域为 $(-\infty,+\infty)$，值域为 $(0,+\infty)$

当 $a >1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递增函数

当 $0< a < 1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递减函数

$ a<0 $ 时，指数函数没有实在意义，因为一个 $x$ 值可能存在两个 $y$ 值，不构成函数

常用的指数函数有 $y = e^x,y = 2^x,y=10^x$

$y = e^x$

$y = 2^x$

$y=10^x$

$f(x) = (\frac{1}{2})^x$

4 对数函数

4.1 基本概念

对数定义

如果 $a^b = N(a >0 且a \neq 1)$，那么 $b$ 叫做以 $N$ 为底的对数，记作 $\log_aN = b$ ，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

4.2 性质

$\log_aa = 1,a^1 = a$

$\log_a1 = 0,a^0 = 1$

0和负数无对数

$a^{\log_aN} = N$ -> $log_aN = k,a^k = N,a^{\log_aN} = N$

$log_aN = log_aN \Rightarrow a^{\log_aN} = N$

将上面右变的值记作k，则

$\log_aN = k$

那么 $a^k = N$ ，则 $a^{log_aN} = N$

4.3 运算法则

$\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN$

$\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN$ 两边都变成指数形式，在进一步换算

$a^{log_a(M \times N)} = a^{log_aM + log_aN}$ 因为指数相等，所以再加个相同底数也相等

$M \times N = a^{log_aM} \times a^{log_aN}$ 指数相乘时，底数相同，指数相加的反推

$M \times N = M \times N$

这是 $M \times N$ 推导出来的
可以通过 $M \times N$ 推出两种不同的式子
一种 $M \times N$ 当真数
一种 $M$ 当真数乘以 $N$ 当真数形式
$\log_a(\frac{M}{N}) = \log_aM - \log_aN$

上述相同，也是利用指数计算的性质
$\log_aM^n = n \times \log_aM$

这里证明用到的是 $a^{m \times n} = (a^m)^n$

$a^{log_aM^n} = a^{n \times log_aM} = (a^{log_aM})^n = M^n$

换底公式没有讲 $\log_aN = \frac{log_bN}{log_ba}$

4.4 对数函数定义

对数函数 $y = log_ax (a>0,a\neq1)$，它是指数函数 $y = a^x$ 的反函数，它的定义域为 $(0,+ \infty)$，值域为 $(- \infty,+\infty)$

当 $a >1$ 时，对数函数 $y = \log_ax$ 是单调递增函数。

当 $0<a<1$ 时，对数函数 $y=\log_ax$ 是单调递减函数

常用的对数函数有 $y = \ln x,y = \log_2x,y=\log_{10}x$

$y = \ln x$

$y = \log_2x$

$y=\log_{10}x$

$y=log_{\frac{1}{2}}x$

5 三角函数

5.1 角

正角，负角，零角

角可以看做是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而成。逆时针(正角)

终边相同的角

$\{\beta \mid \beta = k \times 360° + a,k \in Z\}$

象限角

在平面直角坐标系分为四象限，角度范围

第一象限 0° - 90°

第二象限 90° - 180°

第三象限 180° - 270°

第四象限 270° - 360°

角度和弧度的换算

单位圆是半径为1的圆周长 $C = 2\pi r = 2 \pi$

弧度是角的度量单位，一段弧的长度叫做弧长

\[360° = 2\pi 弧度 \]

特殊的角度与弧度之间的对应关系

度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

5.2 正弦函数

在直角三角形中，角度 $x$ 的对边比斜边就是正弦函数，奇函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

\[y = \sin x = \frac{BC}{AB} \]

$f(x)=\sin(x)$

5.3 余弦函数

在直角三角形中，角度 $x$ 的邻边比斜边就是余弦函数，偶函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的横坐标u叫做角α的正弦函数，记作u=cosα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=cos x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

\[y = \cos x = \frac{AC}{AB} \]

$f(x)=\cos(x)$

5.4 正切函数

正切就是正弦函数比余弦函数

\[y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

$f(x)=\tan(x)$

5.5 其他

余切函数 $y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$f(x)=\cot(x)$

正割函数 $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$

$f(x)=\sec(x)$

余割函数 $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$

$f(x)=\csc(x)$

5.6 三角函数的值到底怎么来的

特殊的三角函数值

度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt 2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$

正弦函数0到90度是 $\frac{\sqrt0}{2}$、$\frac{\sqrt1}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt4}{2}$

余弦函数0到90度是 $\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$、$\frac{\sqrt1}{2}$、$\frac{\sqrt0}{2}$

5.7 同角三角函数的基本关系

1 倒数关系

\[\sin x 与 \csc x\\ \cos x 与 \sec x \]

2 商数关系

\[y = \tan x\\ y = \cot x\\ \]

3 平方关系

$\sin^2x + \cos^2x = 1$

\[y = \sec x\\ y = \csc x \]

5.8 诱导公式

函数名不变，符号看象限

$\sin(180°\pm \alpha),\sin(360°\pm \alpha)$ 与 $\sin \alpha$

$\cos(90°\pm \alpha),\sin(270°\pm \alpha)$ 与 $\cos\alpha$

5.9 两角和与差的三角函数

\alpha \beta

$\sin(\alpha+\beta) = $$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

减法就是后面的变减号

$\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

减法就是后面的变加号

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-tan alpha tan \beta}$

将$\beta$ 都换成 $\alpha $ 得三角函数倍角公式

$\sin(2\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$

用到了 $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$

$tan(2a)=\frac{2tana}{1-tan^2a}$

5.10 三角函数得图像

五点法作图

$y=\sin x\\y=\cos x\\y=\tan x\\y=\cot x\\y=\sec x\\y=\csc x$

6 反三角函数

按照前面提到得反函数定义，三角函数都是周期函数，那么对于一个具体得函数值y会有无穷多个自变量x得值与之对应。按照函数得定义，x不是y的函数，也即三角函数在定义域内不存在反函数。但是，我们讲定义域在一定的范围之内，三角函数就存在反函数，也就是我们的反三角函数

6.1 反正弦函数

将正弦函数 $y = \sin x$的定义域限制为 $x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

此时，这是一个单调增加的函数，故它存在反函数，称为反正弦函数，记为

\[y = \arcsin x \]

其定义域为$[-1,1]$，值域为 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

$y = \arcsin x$

6.2 反余弦函数

定义域 $x \in [0,\pi]$

值域 $[-1,1]$

\[y = \arccos x \]

$y = \arccos x$

6.3 反正切函数

\[y = \arctan x \]

定义域正无穷到负无穷

值域 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

$y = \arctan x$

posted @ 2022-06-12 21:36 快乐在角落里阅读(126) 评论(0) 编辑收藏举报

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度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)
\(\sin \alpha\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt 2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\cos \alpha\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)

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