数学基础03-初等函数

目录

• 初等函数
  • 1 常值函数
  • 2 幂函数
  • 3 指数函数
    • 3.1 基本概念
    • 3.2 幂的运算法则
    • 3.3 定义
  • 4 对数函数
    • 4.1 基本概念
    • 4.2 性质
    • 4.3 运算法则
    • 4.4 对数函数定义
  • 5 三角函数
    • 5.1 角
    • 5.2 正弦函数
    • 5.3 余弦函数
    • 5.4 正切函数
    • 5.5 其他
    • 5.6 三角函数的值到底怎么来的
    • 5.7 同角三角函数的基本关系
  • 5.8 诱导公式
    • 5.9 两角和与差的三角函数
    • 5.10 三角函数得图像
  • 6 反三角函数
    • 6.1 反正弦函数
    • 6.2 反余弦函数
    • 6.3 反正切函数

初等函数

1 常值函数

常值函数 $y=c$ ，定义域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ ，值域为单点集 $\{c\}$

它的图像时平行于 $x$ 轴的直线

2 幂函数

幂函数 $y=x^{\mu }(\mu \mathrm{是}\mathrm{常}\mathrm{数})$ ，其定义域随着 $\mu$ 不同而不同，图像也随着$\mu$ 的不同而有不用的形状。

常用的幂函数有以下几个$(\mu =1,\frac{1}{2},-1,2,3)$，熟记图像

$y=x^1$

$y=x^{\frac{1}{2}}$

$y=x^{-1}$ 反比例函数

$y=x^2$

$y=x^3$

3 指数函数

3.1 基本概念

正整数指数幂

​ $a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 连乘

零指数幂

​ $a^0=1(a\ne 0)$

​ 任何数的0次方都等于1

负整数指数幂

​ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a\ne 0,n\in N)$

正分数指数幂

​ $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a\ge 0,m、n\in N\mathrm{且}n>1,m、n\mathrm{互}\mathrm{质})$

3.2 幂的运算法则

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

$a^m÷a^n=a^{m-n}$

$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$

$(ab{)}^n=a^n\times b^n$

$(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}=a^n\times b^{-n}$

3.3 定义

指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$，定义域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域为 $(0,+\mathrm{\infty })$

当 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递增函数

当 $0<a<1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递减函数

$a<0$ 时，指数函数没有实在意义，因为一个 $x$ 值可能存在两个 $y$ 值，不构成函数

常用的指数函数有 $y=e^x,y=2^x,y={10}^x$

$y=e^x$

$y=2^x$

$y={10}^x$

$f(x)=(\frac{1}{2}{)}^x$

4 对数函数

4.1 基本概念

对数定义

如果 $a^b=N(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$，那么 $b$ 叫做以 $N$ 为底的对数，记作 ${\log }_{a}N=b$ ，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

4.2 性质

${\log }_{a}a=1,a^1=a$

${\log }_{a}1=0,a^0=1$

0和负数无对数

$a^{{\log }_{a}N}=N$ -> $lo{g}_{a}N=k,a^k=N,a^{{\log }_{a}N}=N$

$lo{g}_{a}N=lo{g}_{a}N\Rightarrow a^{{\log }_{a}N}=N$

将上面右变的值记作k，则

${\log }_{a}N=k$

那么 $a^k=N$ ，则 $a^{lo{g}_{a}N}=N$

4.3 运算法则

1. ${\log }_a(M\times N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

   ${\log }_a(M\times N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ 两边都变成指数形式，在进一步换算

   $a^{lo{g}_a(M\times N)}=a^{lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N}$ 因为指数相等，所以再加个相同底数也相等

   $M\times N=a^{lo{g}_{a}M}\times a^{lo{g}_{a}N}$ 指数相乘时，底数相同，指数相加的反推

   $M\times N=M\times N$

   这是 $M\times N$ 推导出来的
   可以通过 $M\times N$ 推出两种不同的式子
   一种 $M\times N$ 当真数
   一种 $M$ 当真数乘以 $N$ 当真数形式

2. ${\log }_a(\frac{M}{N})={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$

   上述相同，也是利用指数计算的性质

3. ${\log }_a{M}^n=n\times {\log }_{a}M$

​ 这里证明用到的是 $a^{m\times n}=(a^m{)}^n$

​ $a^{lo{g}_a{M}^n}=a^{n\times lo{g}_{a}M}=(a^{lo{g}_{a}M}{)}^n=M^n$

换底公式没有讲 ${\log }_{a}N=\frac{lo{g}_{b}N}{lo{g}_{b}a}$

4.4 对数函数定义

对数函数 $y=lo{g}_{a}x(a>0,a\ne 1)$，它是指数函数 $y=a^x$ 的反函数，它的定义域为 $(0,+\mathrm{\infty })$，值域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

当 $a>1$ 时，对数函数 $y={\log }_{a}x$ 是单调递增函数。

当 $0<a<1$ 时，对数函数 $y={\log }_{a}x$ 是单调递减函数

常用的对数函数有 $y=\ln x,y={\log }_{2}x,y={\log }_{10}x$

$y=\ln x$

$y={\log }_{2}x$

$y={\log }_{10}x$

$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$

5 三角函数

5.1 角

正角，负角，零角

角可以看做是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而成。逆时针(正角)

终边相同的角

$\{\beta \mid \beta =k\times 360°+a,k\in Z\}$

象限角

在平面直角坐标系分为四象限，角度范围

第一象限 0° - 90°

第二象限 90° - 180°

第三象限 180° - 270°

第四象限 270° - 360°

角度和弧度的换算

单位圆是半径为1的圆 周长 $C=2\pi r=2\pi$

弧度是角的度量单位，一段弧的长度叫做弧长

$$360°=2\pi \mathrm{弧}\mathrm{度}$$

特殊的角度与弧度之间的对应关系

度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$

5.2 正弦函数

在直角三角形中，角度 $x$ 的 对边 比斜边就是正弦函数，奇函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

$$y=\sin x=\frac{BC}{AB}$$

$f(x)=\sin (x)$

5.3 余弦函数

在直角三角形中，角度 $x$ 的 邻边 比斜边就是余弦函数，偶函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的横坐标u叫做角α的正弦函数，记作u=cosα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=cos x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

$$y=\cos x=\frac{AC}{AB}$$

$f(x)=\cos (x)$

5.4 正切函数

正切就是正弦函数比余弦函数

$$y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

$f(x)=\tan (x)$

5.5 其他

余切函数 $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

$f(x)=\cot (x)$

正割函数 $y=\sec x=\frac{1}{\cos x}$

$f(x)=\sec (x)$

余割函数 $y=\csc x=\frac{1}{\sin x}$

$f(x)=\csc (x)$

5.6 三角函数的值到底怎么来的

特殊的三角函数值

度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$

正弦函数0到90度是 $\frac{\sqrt{0}}{2}$、$\frac{\sqrt{1}}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{4}}{2}$

余弦函数0到90度是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{1}}{2}$、$\frac{\sqrt{0}}{2}$

5.7 同角三角函数的基本关系

1 倒数关系

$$\begin{gathered} \sin x\mathrm{与}\csc x \\ \cos x\mathrm{与}\sec x \end{gathered}$$

2 商数关系

$$\begin{gathered} y=\tan x \\ y=\cot x \end{gathered}$$

3 平方关系

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$$\begin{gathered} y=\sec x \\ y=\csc x \end{gathered}$$

5.8 诱导公式

函数名不变，符号看象限

$\sin (180°\pm \alpha ),\sin (360°\pm \alpha )$ 与 $\sin \alpha$

$\cos (90°\pm \alpha ),\sin (270°\pm \alpha )$ 与 $\cos \alpha$

5.9 两角和与差的三角函数

\alpha \beta

$\sin (\alpha +\beta )=$$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

减法就是后面的变减号

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

减法就是后面的变加号

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-tanalphatan\beta }$

将$\beta$ 都换成 $\alpha$ 得 三角函数倍角公式

$\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2co{s}^2\alpha -1=1-2si{n}^2\alpha$

​ 用到了 $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$tan(2a)=\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a}$

5.10 三角函数得图像

五点法作图

$$\begin{gathered} y=\sin x \\ y=\cos x \\ y=\tan x \\ y=\cot x \\ y=\sec x \\ y=\csc x \end{gathered}$$

6 反三角函数

按照前面提到得反函数定义，三角函数都是周期函数，那么对于一个具体得函数值y会有无穷多个自变量x得值与之对应。按照函数得定义，x不是y的函数，也即三角函数在定义域内不存在反函数。但是，我们讲定义域在一定的范围之内，三角函数就存在反函数，也就是我们的反三角函数

6.1 反正弦函数

将正弦函数 $y=\sin x$的定义域限制为 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

此时，这是一个单调增加的函数，故它存在反函数，称为反正弦函数，记为

$$y=\arcsin x$$

其定义域为$[-1,1]$，值域为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

$y=\arcsin x$

6.2 反余弦函数

定义域 $x\in [0,\pi ]$

值域 $[-1,1]$

$$y=\arccos x$$

$y=\arccos x$

6.3 反正切函数

$$y=\arctan x$$

定义域 正无穷到负无穷

值域 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

$y=\arctan x$