数学基础02-集合、区间、函数、反函数和复合函数

目录

• 集合
  • 1 基本概念
    • 1.1 定义
    • 1.2 元素
    • 1.3 元素和集合的关系
    • 1.4 有限集和无限集
    • 1.5 空集
    • 1.6 常用的几种数集及记号
  • 2 集合的表示方法
    • 2.1 例举法
    • 2.2 属性法
    • 2.3 图示法(韦恩氏图)
  • 3 集合与集合的关系
    • 3.1 交集
    • 3.2 并集
• 区间
  • 1 定义
  • 2 区间分类
• 函数
  • 1 定义
  • 2 表示方法
    • 2.1 公式法
    • 2.2 图像法
    • 2.3 表格法
  • 3 性质
    • 3.1 有界性
    • 3.2 单调性
    • 3.3 奇偶性
    • 3.4 周期性
    • 3.5 连续性
    • 3.6 凹凸性
  • 4 反函数和复合函数
  • 4.1 定义
  • 4.2 复合函数
  • 4.3 例题

集合

1 基本概念

1.1 定义

把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合一般用大写字母A B C ……表示

1.2 元素

集合中的每个对象叫做这个集合的元素，一般用a b c ……表示 (确定性，互异性，无序性)

1.3 元素和集合的关系

​ 若 $a$ 是集合 $A$ 中的元素，记作 $a\in A$

​ 若 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素，记作 $a\notin A$

1.4 有限集和无限集

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集

1.5 空集

不含有任何元素的集合叫做空集，记作 $\mathrm{\varnothing }$

1.6 常用的几种数集及记号

自然数集	正整数集	正数集	有理数集	实数集	复数集
$N(0\in N)$	$N^{+}$或$N_{+}$	$Z$	$Q$	$R$	$C$

2 集合的表示方法

2.1 例举法

将集合中的元素一一例举出来并写在大括号内。

$$A=\{1,2,3,4\}$$

2.2 属性法

将集合中元素的共同特诊描述出来写在大括号内

$$\begin{gathered} A=\{x\mid x\mathrm{是}\mathrm{小}\mathrm{于}5\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}\} \\ B=\{y\mid 0\le y\le 2\} \end{gathered}$$

2.3 图示法(韦恩氏图)

用封闭曲线的内部表示一个集合

3 集合与集合的关系

3.1 交集

由集合A与集合B的所有公共元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作 $A\cap B$ 显然有：

$$A\cap A=A,A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing },A\cap B=B\cap A$$

3.2 并集

由集合$A$与集合$B$的所有元素合并在一起构成的集合叫做$A$与$B$的并集，记作：$A\cup B$ ,显然有：

$$A\cup A=A,A\cup \mathrm{\varnothing }=A,A\cup B=B\cup A$$

区间

1 定义

用“属性法”来表示数集的好处是它可以很方便的表示数轴上的 “一段” 连续的点，比如，由数轴上介于 1 与 2 之间的实数构成的数集可方便的表示为

$$A=\{x\mid 1<x<2\}$$

像这样由数轴上的一段连续的点构成的数集我们称之为区间，记作 $(1,2)$

2 区间分类

常见的区间定义如下表，表中a,b是确定的实数。正负无穷大不代表任何数，仅仅是记号

名称	闭区间	开区间	左开右闭	左闭右开	正无穷区间	负无穷区间	无穷区间
记号	$[a,b]$	$(a,b)$	$(a,b]$	$[a,b)$	$(a,+\mathrm{\infty })$	$(-\mathrm{\infty },b]$	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
定义	$\{x\mid a\le x\le b\}$	$\{x\mid a<x<b\}$	$\{x\mid a<x\le b\}$	$\{x\mid a\le x<b\}$	$\{x\mid a<x<+\mathrm{\infty }\}$	$\{x\mid -\mathrm{\infty }<x\le b\}$	$\{x\mid -\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }\}$

函数

1 定义

设 $x,y$ 是两个变量，$x$的变化范围是实数集 $D$ 。如果对于任何的 $x\in D$ ，按照一定的法则都有唯一确定的 $y$ 值与之对应。则称变量 $y$是变量 $x$ 的函数。记作 $y=f(x)$ 。称 $D$ 是函数的定义域，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。全体函数值的集合称为函数 $y$ 的值域

判断是不是同一个函数

不是同一个函数，通过坐标系可以发现是4种不同的线。

$f_1=x$

$x$ 是实数

$f_2=\sqrt{x^2}$

$x$ 是实数，但是值都是正数

$f_3=(\sqrt{x}{)}^2$

$x$是自然数

$f_4=\frac{x^2}{x}$

$x$是不等于0的实数

函数例子

​ $h=\frac{1}{2}g{t}^2,t\in [0,T]$

​ 符号函数

​ $y=sgn(x)=\{\begin{array}{l}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$

​ 气温函数

​ 人口函数

​ 分段函数，出租车收费

​ $y=\{\begin{array}{l}10,0<x\le 3\\ 10+3(x-3),3<x\le 8\\ 25+2.5(x-8),x>8\end{array}$

​ 曲边三角形面积函数

2 表示方法

2.1 公式法

用数学公式表示因变量$y$与自变量$x$之间的对应法则

2.2 图像法

用因变量 $y$ 与自变量 $x$ 为坐标$(x,y)$ 所成的点的轨迹

2.3 表格法

3 性质

函数的六大性质，只说明前4性质

3.1 有界性

定义：设函数$f(x)$在数集$X$ 内有定义。若存在正数$M$,使得对任何 $x\in X$,都有 $\mid f(x)\mid \le M$ 成立，则称 $f(x)$ 在 $X$ 内有界，称 $M$ 为 $f(x)$ 的一个界。若这样的 $M$ 不存在，则称 $f(x)$在 $X$ 内无界。

整个的定义域里面，不管$x$取哪个值，它的$y$值都小于等于或大于等于某个值，则有界。界限的意思。有没有一个数限定在范围内。

1. 有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数。只有一个界是不行的
2. 界的无穷。函数有界则必定有无穷多个界
3. 函数的有界性如何与自变量的 $x$ 的范围有关。

3.2 单调性

定义：设函数 $f(x)$ 在区间$X$内有定义。若对于任何的$x_1,x_2\in X.x_1<x_2$,都有 $f(x_1)<f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$在区间 $X$ 上单调增加；若对于上述 $x_1,x_2$ 都有 $f(x_1)>f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$在区间 $X$上单调减少。

$y=x^2$

负无穷到0，单调递减，0到正无穷，单调递增

例题

证明：函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上单调递减函数，但是它在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上是单调递增函数

$f(x_2)-f(x_1)=(x_2{)}^2-(x_1{)}^2=(x_2+x_1)(x_2-x_1)>0$

$x_1,x_2$ 在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$ 中因为$x_2>x_1$，所以上面的值永远大于0，那么$f(x_1)<f(x_2)$，则在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增。

$f(x_1)-f(x_2)=(x_1{)}^2-(x_2{)}^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$

因为$x_2>x_1$，所以$x_1-x_2<0$ ，那么 $f(x_1)<f(x_2)$ ，则在区间 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上单调递减

3.3 奇偶性

定义：

设函数$f(x)$的定义域$D$ 是关于原点对称的，即若$x\in D$ 则 $-x\in D$ ，若对于任何 $x\in D$ ，都有

$$f(-x)=f(x)$$

成立，则称$f(x)$ 为偶函数；若对于上述$x$有

$$f(-x)=-f(x)$$

成立，则称$f(x)$ 为奇函数。

由定义可知，偶函数的图像是关于$y$轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称(旋转180°重合)的

$y=x^2$ 是偶函数

对定义域要求是关于原点对称的

加绝对值和偶次方都是偶函数

例题

1 讨论下列函数的奇偶性(4类)

$f(x)=x\mid x\mid$ 奇函数

$f(x)=x+\mid x\mid$ 非奇非偶

$f(x)=x^2+x^4$ 偶函数

$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 偶函数

$f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 奇函数

$f(x)=ln\frac{1-x}{1+x}$ 奇函数

2 证明：设函数$f(x),g(x)$ 都是 $[-a,a]$上的偶函数，则$f(x)+g(x)$也是$[-a,a]$上的偶函数

$F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)$

结论：设所考虑的函数都在$[-a,a]$ 上有定义

1. 两个偶函数之和，之积为偶函数
2. 两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
3. 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数

3.4 周期性

定义：设函数$f(x)$的定义域是 $R$ 若存在常数 $T$ ，使得对于任何 $x\in R$，都有

$$f(x+T)=f(x)$$

成立，则称$f(x)$ 是周期函数，一般称满足上式的最小的正数 $T$ 为 $f(x)$的周期

3.5 连续性

3.6 凹凸性

4 反函数和复合函数

4.1 定义

概念引入

一个函数 $y=f(x)(x\in D)$ 不仅反映了因变量 $y$ 随自变量 $x$ 变化的规律，而且也往往反映出 $x$ 随 $y$ 变化的规律。比如值域 $f(D)$ 中的任何 $y_0$，由对应法则 $y=f(x)$ 在 $D$ 内总存在 $x_0$，且能有满足 $y_0=f(x_0)$，若这样的 $x_0$ 是唯一确定的，则此时形成了 $x_0$ 与 $y_0$ 的对应关系，这种关系也是符合函数定义的。这样由 $y=f(x)$ 所确定的 $x$ 是 $y$ 的函数，这就是反函数。

$y=\frac{1}{2}x\Rightarrow x=2y$

定义

设函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$ ，值域是 $f(D)$。若对任何 $y\in f(D)$，在 $D$ 内有唯一确定的 $x$ 使得 $y=f(x)$ ，则称这样形成的函数 $x$ 为 $y=f(x)$ 的反函数，记为 $x=f^{-1}(y)$ ，相应的，也称函数 $y=f(x)$ 是直接函数。

对于任何值域范围内的值在定义域范围内都有唯一确定的值一一对应，$x$ 随着 $y$ 的改变而改变，这样 $x$ 就是$y=f(x)$ 的反函数。学会求反即可

例题(怎么求，反函数与原函数图像特点)

设函数 $y=4x+1$ ，求它的反函数并画出图像。

反函数

$$\begin{gathered} y=4x+1 \\ y-1=4x \\ x=\frac{y-1}{4}(y=\frac{x-1}{4}) \end{gathered}$$

关于 $y=x$ 这条线对称

直接函数与反函数 – GeoGebra

是不是所有的函数都有反函数呢？如果不是怎么限制条件

不是，$y=x^2$ 就没有反函数，$x$ 对于的 $y$ 在定义域 $R$ 有两个值

限制定义域确定有一个$y$值

4.2 复合函数

对函数 $y=u^2$ 和 $u=\sin x$ 进行复合，可以得到 $y=(\sin x{)}^2$

对函数 $y=\frac{1}{u}$ 和 $u=x(x+1)$ 进行复合，可以得到函数 $y=\frac{1}{x(x+1)}$

当尝试对多个函数进行复合时，突然发现内层函数的值域不在外层函数的定义域里面，函数就不能复合

如果有函数1和函数2，不能复合是指，函数2的值域不在函数1的定义域里面。

对函数 $y=\arcsin u$ 和 $u=2+x^2$ 不能进行复合

4.3 例题

求由 $y=\frac{1}{u-3},u=\sqrt{2x-1}$ 复合而成的复合函数，求该复合函数的定义域

$u-3\ne 0,u\ne 3$

$$\begin{gathered} 2x-1>0,2x>1,x>\frac{1}{2} \\ \sqrt{2x-1}\ne 3,2x-1\ne 9,2x\ne 10,x\ne 5 \end{gathered}$$

定义域为 $[\frac{1}{2},5),(5,+\mathrm{\infty }]$

设 $f(x)=\frac{1}{x}$，求 $f[f(x)]$

$f[f(x)]=f[\frac{1}{x}]=\frac{\frac{1}{1}}{x}=x$