高等代数：6 二次型 矩阵的合同

6 二次型$\cdot$矩阵的合同

6.1 二次型及其标准形

1、定义1：数域K上一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是

$$\begin{aligned} &f(x_1,x_2,\dots,x_n)=&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n&\\ &&+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n&\\ &&+\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad&\\ &&+a_{nn}x_n^2 \end{aligned}\tag{1}$$

(1)式也可以写成

$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,\tag{2}$$

其中$a_{ij}=a_{ji},1\leqslant i,j\leqslant n$。把（2）式中的系数按原来顺序排成一个n级矩阵A：

$$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix},\tag{3}$$

则称A是二次型$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的矩阵，它是对称矩阵。显然二次型$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的矩阵是唯一的。令

$$X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix},\tag{4}$$

则二次型（1）可写成

$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X'AX,\tag{5}$$

其中A是二次型$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的矩阵。

令$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)'$，设C是数域K上的n级可逆矩阵，则关系式

$$X=CY\tag{6}$$

称为变量$x_1,x_2,\dots,x_n$到变量$y_1,y_2,\cdots,y_n$的一个非退化线性变换。

2、定义2：数域K上两个n元二次型$X'AX与Y'BY$，如果存在一个非退化线性变换$X=CY$，把$X'AX变成Y'BY$，那么称二次型$X'AX与Y'BY$等价，记作：$X'AX\cong Y'BY$。

3、定义3：数域K上两个n级矩阵A与B，如果存在K上一个n级可逆矩阵C，使得

$$C'AC=B,\tag{7}$$

那么称A与B合同，记作：$A\backsimeq B$。

4、命题1：数域K上两个n元二次型$X'AX与Y'BY$等价当且仅当n级对称矩阵A与B合同。

5、合同关系下，A的等价类称为A的合同类。

6、如果二次型$X'AX$等价于一个只含平方项的二次型，那么这个只含平方项的二次型称为$X'AX$的一个标准形。

7、如果对称矩阵A合同于一个对角矩阵，那么这个对角矩阵称为A的一个合同标准形。

8、命题2：实数域上n元二次型$X'AX$有一个标准形为

$$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2,\tag{8}$$

其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是A的全部特征值。

9、如果T是正交矩阵，那么变量的替换$X=TX$称为正交替换。

10、引理1：设A、B都是数域K上n级矩阵，则A合同于B当且仅当A经过一系类成对初等行、列变换可以变成B，此时对$I$只作其中的初等列变换得到的可逆矩阵C，就使得$C'AC=B$。

定理1：数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

11、定理2：数域K上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型。

命题3：数域K上n元二次型$X'AX$的任一标准形中，系数不为0的平方项个数等于它的矩阵A的秩，这个秩也称为二次型$X'AX$的秩。

6.2 实二次型的规范型

n元二次型$X'AX$经过一个适当的非退化线性替换$X=CY$可以化成下述形式的标准形：

$$d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,\tag{1}$$

其中$d_i>0,i=1,2,\cdots,r$。易知这个二次型的秩为r。再作一个非退化线性替换：

$$\begin{aligned} y_i&=\frac 1 {\sqrt{d_i}}z_i,\qquad i=1,2,\cdots,r.\\ y_j&=z_j,\qquad j=r+1,\cdots,n. \end{aligned}\tag{2}$$

则二次型（1）可变成

$$z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.\tag{3}$$

因此二次型$X'AX$有形如（2）式的一个标准形，称它为二次型$X'AX$的规范形，它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1.-1或0；系数为1的平方项都在前面。实二次型$X'AX$的规范形（2）被两个自然数p和r决定。

若$X'AX$为复二次型，由于复数域负数可开根号，在经过形如（2）式的非线性退化过程可消去每项的正负性，从而得到下述形式标准形：

$$z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2.\tag{4}$$

把这个标准形叫做复二次型$X'AX$的规范形。它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1或0.显然，复二次型$X'AX$的规范形完全由它的秩决定。

1、定理1（惯性定理）：n元实二次型$X'AX$的规范形是唯一的。

2、定义1：在实二次型$X'AX$的规范形中，系数为+1的平方项个数为p称为$X'AX$的正惯性指数，系数为-1的平方项个数r-1称为$X'AX$的负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数所得的差2p-r称为$X'AX$的符号差。

命题1：两个n元实二次型等价

$$\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\\ \iff&它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。 \end{aligned}$$

推论1：任一n级实对称矩阵A合同于对角矩阵$diag\{1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0\}$，其中1的个数等于$X'AX$的正惯性指数，-1的个数等于$X'AX$的负惯性指数（分别把它们称为A的正惯性指数和负惯性指数），这个对角矩阵称为A的合同规范形。

推论2：两个n级实对称矩阵合同等价于：它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。秩和正惯性指数是合同关系下的一组完全不变量。

3、定理2：复二次型$X'AX$的规范形是唯一的。

命题2：两个n元复二次型等价

$$\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\\ \iff&它们的秩相等。 \end{aligned}$$

推论3：任一n级复对称矩阵A合同于对角阵：

$$\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0 \end{pmatrix},$$

其中r=rank(A)。

推论4：两个n级复对称矩阵合同等价于：它们的秩相等。

6.3 正定二次型与正定矩阵

1、定义1：实二次型$X'AX$称为正定的，如果对于$R^n$中任意非零列向量$\alpha$，都有$\alpha 'A\alpha>0$。

2、定理1：n元实二次型$X'AX$是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n。

推论1：n元实二次型$X'AX$​是正定的

$$\begin{aligned} \iff&它的规范形为：y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\\ \iff&它的标准形中n个系数全大于0 \end{aligned}$$

3、定义2：实对称矩阵A称为正定的，如果实二次型$X'AX$是正定的。即对于$R^n$中任意非零列向量$\alpha$，有$\alpha 'A\alpha>0$。

4、定理2：n级实对称矩阵A是正定的

$$\begin{aligned} \iff&A的正惯性指数等于n\\ \iff&A\backsimeq I\\ \iff&A的合同标准形中主对角元全大于0\\ \iff&A的特征值全大于0 \end{aligned}$$

推论2：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。

推论3：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而非退化线性替换不改变实二次型的正定性。

推论4：正定矩阵的行列式大于0.

5、定理3：实对称矩阵A是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。

推论5：实二次型$X'AX$是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。

6、定义3：n元实二次型$X'AX$称为是半正定（负定，半负定）的，如果对于$R^n$中任意非零列向量$\alpha$，有

$$\alpha 'A\alpha\geqslant0(\alpha 'A\alpha<0,\alpha 'A\alpha\leqslant0)$$

如果$X'AX$既不是半正定的，又不是半负定的，那么称它是不定的。

定义4：实对称矩阵A称为半正定（负定，半负定，不定）的，如果实二次型$X'AX$是半正定（负定，半负定，不定）的。

7、定理4：

$$\begin{aligned} &(1)n元实二次型X'AX是半正定的\\ \iff &(2)它的正惯性指数等于它的秩\\ \iff&(3)它的规范形是y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2(0\leqslant r\leqslant n)\\ \iff&(4)它的标准形中n个系数全非负。 \end{aligned}$$

推论6：

$$\begin{aligned} &实对称矩阵A是半正定的\\ \iff&A\backsimeq \begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}，其中r=rank(A)\\ \iff&A的合同标准形中n个系数全非负\\ \iff&A的特征值全非负。 \end{aligned}$$

8、定理5：实对称矩阵A是半正定的当且仅当A的所有主子式全非负。

9、定理6：实对称矩阵A负定的充分必要条件是：它的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。

10、何塞矩阵（略）。