高等代数：3 线性方程组的解集的结构

3 线性方程组的解集的结构

3.1 n维向量空间$K^n$

1、定义1：数域K上所有n元有序数组组成的集合$K^{n}$,连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算，以及满足的8条运算法则一起，称为数域K上的一个n维向量空间。$K^{n}$的元素称为n维向量；设向量$\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n)$，称$a_i$是$\alpha$的第$i$个分量。

取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数。令

$$K^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\space|\space a_i \in K,i=1,2,\dots,n\}.$$

如果$a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n$，则称$K^ n$中两个元素$(a_1,a_2,\dots,a_n)$与$(b_1,b_2,\dots,b_n)$相等。

在$K^{n}$中规定加法运算如下：

$$(a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)\xlongequal{\text{def}}(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n)$$

在$K$的元素与$K^{n}$的元素之间规定数量乘法运算如下：

$$k(a_1,a_2,\dots,a_n) \xlongequal{\text{def}} (ka_1,ka_2,\dots,ka_n)$$

容易直接验证加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对于$\alpha ,\beta ,\gamma \in K^n ;\space k,l \in K$ 有

(1)$\alpha + \beta = \beta + \alpha$；

(2)$(\alpha +\beta)+\gamma=\alpha +(\beta +\gamma)$；

(3)把元素$(0,0,\dots,0)$记作0，它使得

$$\bold 0+\alpha=\alpha+\bold 0=\alpha,$$

称0是$K^n$的零元素；

(4)对于$\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in K^n$，令

$$-\alpha \xlongequal{\text{def}} (-a_1,-a_2,\dots,-a_n) \in K^n,$$

有

$$\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=\bold 0,$$

称$-\alpha$是$\alpha$的负元素；

(5)$1\alpha=\alpha$;

(6)$(kl)\alpha=k(l\alpha)$;

(7)$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$;

(8)$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$.

2、补充：

(1)通常用小写字母$\alpha ,\beta ,\gamma$表示向量。

(2)在n维向量空间$K^n$中，可以定义减法运算如下：

$$\alpha -\beta \xlongequal{\text{def}} \alpha +(-\beta).$$

(3)在n维向量空间$K^n$中，容易直接验证下述4条性质：

$$\begin{aligned} 0\alpha=\bold 0,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ (-1)\alpha=-\alpha,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ k\bold 0=\bold 0,& \qquad \forall k \in K; \\ k\alpha=\bold 0 \implies & k=0 \, 或 \, \alpha=\bold 0 \end{aligned}$$

(4)n元有序数组写成一行，称为行向量；写成一列，称为列向量。$K^n$既是n维行向量组成的向量空间，也是n维列向量组成的向量空间。

(5)在$K^n$中，给定向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$，对于$\beta \in K^n$，如果存在K中一组数$c_1,c_2,\dots,c_s$使得

$$\beta=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\dots+c_s\alpha_s,$$

那么称$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性表出（示）。$\beta$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$的一个线性组合，其中$c_1,c_2,\dots,c_s$称为系数。

3、定义2：$K^n$的一个非空子集U如果满足：

$$\begin{aligned} (1) \quad & \alpha,\gamma \in U \implies \alpha +\gamma \in U, \\ (2) \quad & \alpha \in U,k\in K \implies k\alpha \in U, \end{aligned}$$

那么称U是$K^n$的一个线性子空间，简称子空间。其中性质（1）称为U对于$K^n$的加法封闭；性质（2）称为U对于$K^n$的数量乘法封闭。

(1) {0}是$K^n$的一个子空间，称为零子空间。$K^n$本身也是$K^n$的一个子空间。

(2) 从而，$K^n$中，向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$的所有线性组合组成的集合W是$K^n$的一个子空间，称它为$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$生成（或张成）的子空间，记作

$$<\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s>$$

(3) 命题1：数域K上n元线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta$有解

$$\begin{aligned} \iff & \beta \, 可以由\, \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \,线性表出 \\ \iff & \beta \in <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n> \end{aligned}$$

3.2 线性相关与线性无关的向量组

1、定义1：$K^n$中向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)$称为是线性相关的，如果有K中不全为0的数$k_1,k_2,\dots,k_s$，使得

$$k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=\bold 0$$

2、定义2：$K^n$中向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)$如果不是线性相关的，那么称为线性无关的。

3、从定义1和定义2显得：

（1）包含零向量的向量组一定线性相关$(k\bold 0+\alpha_2+\dots+0\alpha_s=\bold 0)$;

（2）单个向量$\alpha$线性相关当且仅当$\alpha=\bold 0(因为k\alpha=0,k\not=0 \iff\alpha=\bold 0)$;

从而单个向量$\alpha$线性无关当且仅当$\alpha \not= \bold 0$;

（3）$K^n$中，向量组

$$\varepsilon_1=\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix}, \varepsilon_2=\begin{bmatrix} 0 \\1\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix},\dots, \varepsilon_n=\begin{bmatrix} 0 \\0\\0\\ \vdots \\0\\1\end{bmatrix},$$

是线性无关的。

4、向量组线性相关与线性无关区别：

（1）从线性组合看：

$$\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant1)线性相关 \\ \iff&它们有系数不全为0的线性组合等于零向量；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量。 \end{aligned}$$

（2）从线性表出看：

$$\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性相关 \\ \iff&其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性无关 \\ \iff&其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 \end{aligned}$$

（3）从齐次线性方程组看：

$$\begin{aligned} &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0有非零解；\\ \\ &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0只有零解。 \end{aligned}$$

（4）从行列式看：

$$\begin{aligned} &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式等于零；\\ \\ &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式不等于零。 \end{aligned}$$

（5）从向量组线性表出一个向量的方式看：

$$\begin{aligned} 设向量\beta 可以由向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性表出，则 \\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性无关 \iff&表出方式唯一；\\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性相关 \iff&表出方式有无穷多种。 \end{aligned}$$

（6）从向量组与它的部分组的关系看：

$$\begin{aligned} &如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。 \\ &如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关。 \end{aligned}$$

（7）从向量组与它的延伸组或缩短组的关系看：

$$\begin{aligned} &如果向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。 \\ &如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。 \end{aligned}$$

5、命题1：设向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性无关，则向量$\beta$可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性表出的充分必要条件是$\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta$线性相关。

推论1：设向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性无关，则向量$\beta$不能由$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性表出的充分必要条件是$\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta$线性无关。

6、替换定理：设向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性无关，$\beta=b_1\alpha_1,\dots,b_s\alpha_s$。如果$b_i\not=0$，那么用$\beta$替换$\alpha_i$后得到的向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\beta,\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s$也线性无关。

3.3 向量组的秩

1、定义1：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组都线性相关。

2、定义2：如果向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$的每一个向量都可以由向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$线性表出，那么称向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$可以由向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$线性表出。如果向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$与向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$可以相互线性表出，那么称向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$与向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$等价，记作

$$\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\}$$

向量组的等价是向量组之间的一种关系。可以证明其具有以下三种性质：

$$\begin{aligned} &(1)反身性。即任何一个向量组都与自身等价； \\ &(2)对称性。即如果\alpha_1,\dots,\alpha_s与\beta_1,\dots,\beta_r 等价，那么\beta_1,\dots,\beta_r与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价； \\ &(3)传递性。即如果 \\ &\qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\},\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}， \\ &那么\qquad \qquad \qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}。 \end{aligned}$$

3、命题1：向量组与它的极大线性无关组等价。

推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论2：$\beta$可以由向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性表出当且仅当$\beta$可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_s$的一个极大线性无关组线性表出。

4、引理1：设向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$可以由向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性表出，如果$r>s$，那么$\beta_1,\dots,\beta_r$线性相关。

推论3：设向量组$\beta_1,\dots,\beta_r$可以由向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性表出，如果$\beta_1,\dots,\beta_r$线性无关，那么$r\leqslant s$。

推论4：等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等。

推论5：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

5、定义3：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

全由零向量组成的向量组的秩规定为0。

向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$的秩记作$rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$。

6、命题2：向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

7、命题3：如果向量组（1）可以由向量组（2）线性表出，那么：（1）的秩$\leqslant$（2）的秩

8、命题4：等价的向量组有相等的秩。（注意：秩相等的向量组不一定等价）

3.4 子空间的基与维数

1、定义1：设U是$K^n$的一个子空间，如果$\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U$,并且满足下述两个条件：

$$\begin{aligned} &(1)\alpha_1,\dots,\alpha_r线性无关，\\ &(2)U中每一个向量都可以由\alpha_1,\dots,\alpha_r线性表出， \end{aligned}$$

那么称$\alpha_1,\dots,\alpha_r$是U的一个基。

显然，$\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$是$K^n$的一个基，称它为$K^n$的标准基。

2、定理1：$K^n$的任一非零子空间U都有一个基。

3、定理2：$K^n$的非零子空间U的任意两个基所含的向量的个数相等。

4、定义2：$K^n$的非零子空间U的一个基所含向量的个数称为U的维数，记作$dim_K\, U$，或者$dim \, U$。

零子空间的维数规定为0。

因为$dim \, K^n=n$，所以称$K^n$为n维向量空间。

对于$\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_r\alpha_r$，把有序数组$(a_1,\dots,a_r )$称为$\alpha$在基$\alpha_1,\dots,\alpha_r$下的坐标。

5、命题1：设$dim \, U=r$，则U中任意r+1个向量都线性相关。

6、命题2：设$dim \, U=r$，则U中任意r个线性无关的向量都是U的一个基。

7、命题3：设$dim \, U=r$，设$\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U$。如果U中每一个向量都可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_r $线性表出，那么$\alpha_1,\dots,\alpha_r $是U的一个基。

8、命题4：设U和W都是$K^n$的非零子空间，如果$U\subseteq W$，那么$dim \, U \leqslant dim \, W$。

9、命题5：设U和W是$K^n$的两个非零子空间，且$U\subseteq W$，如果$dim \, U = dim \, W$，那么$U= W$。

10、定理3：向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$的一个极大线性无关组是这个向量组生成的子空间$<\alpha_1,\dots,\alpha_s>$的一个基，从而

$$dim<\alpha_1,\dots,\alpha_s>=rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}.$$

3.5 矩阵的秩

1、定理1：阶梯型矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2、定理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

3、定理3：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

4、定理4：任一矩阵A的行秩等于它的列秩。

5、定义1：矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记作$rank (A)$。

6、推论1：设矩阵A经过初等行变换化成阶梯型矩阵J，则A的秩等于J的非零行个数。设J的主元所在的列是第$j_1,j_2,\dots,j_r$列，则A的第$j_1,j_2,\dots,j_r$列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

7、推论2：矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

8、定理5：任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。

9、推论3：设$s\times n$矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

10、推论4：n级矩阵A满秩的充分必要条件是$|A|\not=0$。

3.6 线性方程组有解的充分必要条件

1、定理1（线性方程组有解判别定理）：数域K上线性方程组

$$x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1}$$

有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

2、定理2：数域K上n元线性方程组（1）有解时，如果它的系数矩阵等于n，那么方程组（1）有唯一解；如果A的秩小于n，那么方程组（1）有无穷多个解。

推论1：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。

3.7 齐次线性方程组的解集的结构

数域K上n元齐次线性方程组

$$x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{1}$$

的一个解是$K^n$中一个向量，称它为齐次线性方程组（1）的一个解向量。齐次线性方程组（1）的解集W是$K^n$的一个非空子集。

性质1：若$\gamma,\delta \in W$，则$\gamma+\delta \in W.$

性质2：$若\gamma \in W,k \in K,则k\gamma \in W.$

由上述得，齐次线性方程组（1）的解集W是$K^n$的一个子空间，称它为方程组（1）的解空间。如果方程组（1）的系数矩阵A的秩等于n，那么$W=\{\bold 0 \}$。如果$rank(A)<n$，那么W是非零子空间。从而W有基。把解空间W的一个基称为齐次线性方程组（1）的一个基础解系，即：

定义1：齐次线性方程组（1）有非零解时，如果它的有限多个解$\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t$满足：

$$\begin{aligned} &(1)\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性无关；\\ &(2)齐次线性方程组（1）的每一个解都可以由\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性表出， \end{aligned}$$

那么称$\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t$是齐次线性方程组（1）的一个基础解系。其解集W表示为：

$$W=\{k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \,|\,k_i \in K,i=1,2,\dots,t\}.$$

通常也说齐次线性方程组（1）的全部解是：

$$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \, ,\,k_1,k_2,\dots,k_i \in K$$

定理1：数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

$$dim \, W=n-rank(A),\tag{2}$$

其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1）有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的个数都等于$n-rank(A)$。

3.8 非齐次线性方程组的解集的结构

对于数域K上n元非齐次线性方程组

$$x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1}$$

设其解集为U。为此考虑相应的齐次线性方程组

$$x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{2}$$

称它为非齐次线性方程组（1）的导出组。导出组的解空间用W表示。

性质1：若$\gamma,\delta \in U$，则$\gamma-\delta \in W.$

性质2：$若\gamma \in U,\eta \in W,则\gamma+\eta \in U.$

定理1：如果数域K上n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解集U为

$$U=\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}, \tag{3}$$

其中$\gamma_0$是非齐次线性方程组（1）的一个解（称$\gamma_0$是特解），W是方程组（1）的导出组的解空间。

我们把集合$\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}$记作$\gamma_0+W$。称它是一个W型的线性流形（或子空间W的一个陪集），把$dim\,W$称为线性流形$\gamma_0+W$的维数。

注：U不是子空间，因为U对于加法和数乘都不封闭。

推论1：如果n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解唯一的充分必要条件是：它的导出组（2）只有零解。