高等代数：3 线性方程组的解集的结构

3 线性方程组的解集的结构

3.1 n维向量空间\(K^n\)

1、定义1：数域K上所有n元有序数组组成的集合\(K^{n}\),连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算，以及满足的8条运算法则一起，称为数域K上的一个n维向量空间。\(K^{n}\)的元素称为n维向量；设向量\(\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n)\)，称\(a_i\)是\(\alpha\)的第\(i\)个分量。

取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数。令

\[K^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\space|\space a_i \in K,i=1,2,\dots,n\}. \]

如果\(a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n\)，则称\(K^ n\)中两个元素\((a_1,a_2,\dots,a_n)\)与\((b_1,b_2,\dots,b_n)\)相等。

在\(K^{n}\)中规定加法运算如下：

\[(a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)\xlongequal{\text{def}}(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) \]

在\(K\)的元素与\(K^{n}\)的元素之间规定数量乘法运算如下：

\[k(a_1,a_2,\dots,a_n) \xlongequal{\text{def}} (ka_1,ka_2,\dots,ka_n) \]

容易直接验证加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对于\(\alpha ,\beta ,\gamma \in K^n ;\space k,l \in K\) 有

(1)\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)；

(2)\((\alpha +\beta)+\gamma=\alpha +(\beta +\gamma)\)；

(3)把元素\((0,0,\dots,0)\)记作0，它使得

\[\bold 0+\alpha=\alpha+\bold 0=\alpha, \]

称0是\(K^n\)的零元素；

(4)对于\(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in K^n\)，令

\[-\alpha \xlongequal{\text{def}} (-a_1,-a_2,\dots,-a_n) \in K^n, \]

有

\[\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=\bold 0, \]

称\(-\alpha\)是\(\alpha\)的负元素；

(5)\(1\alpha=\alpha\);

(6)\((kl)\alpha=k(l\alpha)\);

(7)\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\);

(8)\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\).

2、补充：

(1)通常用小写字母\(\alpha ,\beta ,\gamma\)表示向量。

(2)在n维向量空间\(K^n\)中，可以定义减法运算如下：

\[\alpha -\beta \xlongequal{\text{def}} \alpha +(-\beta). \]

(3)在n维向量空间\(K^n\)中，容易直接验证下述4条性质：

\[\begin{aligned} 0\alpha=\bold 0,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ (-1)\alpha=-\alpha,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ k\bold 0=\bold 0,& \qquad \forall k \in K; \\ k\alpha=\bold 0 \implies & k=0 \, 或 \, \alpha=\bold 0 \end{aligned} \]

(4)n元有序数组写成一行，称为行向量；写成一列，称为列向量。\(K^n\)既是n维行向量组成的向量空间，也是n维列向量组成的向量空间。

(5)在\(K^n\)中，给定向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)，对于\(\beta \in K^n\)，如果存在K中一组数\(c_1,c_2,\dots,c_s\)使得

\[\beta=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\dots+c_s\alpha_s, \]

那么称\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)线性表出（示）。\(\beta\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的一个线性组合，其中\(c_1,c_2,\dots,c_s\)称为系数。

3、定义2：\(K^n\)的一个非空子集U如果满足：

\[\begin{aligned} (1) \quad & \alpha,\gamma \in U \implies \alpha +\gamma \in U, \\ (2) \quad & \alpha \in U,k\in K \implies k\alpha \in U, \end{aligned} \]

那么称U是\(K^n\)的一个线性子空间，简称子空间。其中性质（1）称为U对于\(K^n\)的加法封闭；性质（2）称为U对于\(K^n\)的数量乘法封闭。

(1) {0}是\(K^n\)的一个子空间，称为零子空间。\(K^n\)本身也是\(K^n\)的一个子空间。

(2) 从而，\(K^n\)中，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的所有线性组合组成的集合W是\(K^n\)的一个子空间，称它为\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)生成（或张成）的子空间，记作

\[<\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s> \]

(3) 命题1：数域K上n元线性方程组\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta\)有解

\[\begin{aligned} \iff & \beta \, 可以由\, \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \,线性表出 \\ \iff & \beta \in <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n> \end{aligned} \]

3.2 线性相关与线性无关的向量组

1、定义1：\(K^n\)中向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)\)称为是线性相关的，如果有K中不全为0的数\(k_1,k_2,\dots,k_s\)，使得

\[k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=\bold 0 \]

2、定义2：\(K^n\)中向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)\)如果不是线性相关的，那么称为线性无关的。

3、从定义1和定义2显得：

（1）包含零向量的向量组一定线性相关\((k\bold 0+\alpha_2+\dots+0\alpha_s=\bold 0)\);

（2）单个向量\(\alpha\)线性相关当且仅当\(\alpha=\bold 0(因为k\alpha=0,k\not=0 \iff\alpha=\bold 0)\);

从而单个向量\(\alpha\)线性无关当且仅当\(\alpha \not= \bold 0\);

（3）\(K^n\)中，向量组

\[\varepsilon_1=\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix}, \varepsilon_2=\begin{bmatrix} 0 \\1\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix},\dots, \varepsilon_n=\begin{bmatrix} 0 \\0\\0\\ \vdots \\0\\1\end{bmatrix}, \]

是线性无关的。

4、向量组线性相关与线性无关区别：

（1）从线性组合看：

\[\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant1)线性相关 \\ \iff&它们有系数不全为0的线性组合等于零向量；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量。 \end{aligned} \]

（2）从线性表出看：

\[\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性相关 \\ \iff&其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性无关 \\ \iff&其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 \end{aligned} \]

（3）从齐次线性方程组看：

\[\begin{aligned} &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0有非零解；\\ \\ &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0只有零解。 \end{aligned} \]

（4）从行列式看：

\[\begin{aligned} &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式等于零；\\ \\ &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式不等于零。 \end{aligned} \]

（5）从向量组线性表出一个向量的方式看：

\[\begin{aligned} 设向量\beta 可以由向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性表出，则 \\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性无关 \iff&表出方式唯一；\\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性相关 \iff&表出方式有无穷多种。 \end{aligned} \]

（6）从向量组与它的部分组的关系看：

\[\begin{aligned} &如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。 \\ &如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关。 \end{aligned} \]

（7）从向量组与它的延伸组或缩短组的关系看：

\[\begin{aligned} &如果向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。 \\ &如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。 \end{aligned} \]

5、命题1：设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性无关，则向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性表出的充分必要条件是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\)线性相关。

推论1：设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性无关，则向量\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性表出的充分必要条件是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\)线性无关。

6、替换定理：设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性无关，\(\beta=b_1\alpha_1,\dots,b_s\alpha_s\)。如果\(b_i\not=0\)，那么用\(\beta\)替换\(\alpha_i\)后得到的向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\beta,\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s\)也线性无关。

3.3 向量组的秩

1、定义1：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组都线性相关。

2、定义2：如果向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的每一个向量都可以由向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)线性表出，那么称向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)可以由向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)线性表出。如果向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)与向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以相互线性表出，那么称向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)与向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)等价，记作

\[\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\} \]

向量组的等价是向量组之间的一种关系。可以证明其具有以下三种性质：

\[\begin{aligned} &(1)反身性。即任何一个向量组都与自身等价； \\ &(2)对称性。即如果\alpha_1,\dots,\alpha_s与\beta_1,\dots,\beta_r 等价，那么\beta_1,\dots,\beta_r与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价； \\ &(3)传递性。即如果 \\ &\qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\},\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}， \\ &那么\qquad \qquad \qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}。 \end{aligned} \]

3、命题1：向量组与它的极大线性无关组等价。

推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论2：\(\beta\)可以由向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性表出当且仅当\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组线性表出。

4、引理1：设向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以由向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性表出，如果\(r>s\)，那么\(\beta_1,\dots,\beta_r\)线性相关。

推论3：设向量组\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以由向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性表出，如果\(\beta_1,\dots,\beta_r\)线性无关，那么\(r\leqslant s\)。

推论4：等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等。

推论5：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

5、定义3：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

全由零向量组成的向量组的秩规定为0。

向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的秩记作\(rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\)。

6、命题2：向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

7、命题3：如果向量组（1）可以由向量组（2）线性表出，那么：（1）的秩\(\leqslant\)（2）的秩

8、命题4：等价的向量组有相等的秩。（注意：秩相等的向量组不一定等价）

3.4 子空间的基与维数

1、定义1：设U是\(K^n\)的一个子空间，如果\(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U\),并且满足下述两个条件：

\[\begin{aligned} &(1)\alpha_1,\dots,\alpha_r线性无关，\\ &(2)U中每一个向量都可以由\alpha_1,\dots,\alpha_r线性表出， \end{aligned} \]

那么称\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)是U的一个基。

显然，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)是\(K^n\)的一个基，称它为\(K^n\)的标准基。

2、定理1：\(K^n\)的任一非零子空间U都有一个基。

3、定理2：\(K^n\)的非零子空间U的任意两个基所含的向量的个数相等。

4、定义2：\(K^n\)的非零子空间U的一个基所含向量的个数称为U的维数，记作\(dim_K\, U\)，或者\(dim \, U\)。

零子空间的维数规定为0。

因为\(dim \, K^n=n\)，所以称\(K^n\)为n维向量空间。

对于\(\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_r\alpha_r\)，把有序数组\((a_1,\dots,a_r )\)称为\(\alpha\)在基\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)下的坐标。

5、命题1：设\(dim \, U=r\)，则U中任意r+1个向量都线性相关。

6、命题2：设\(dim \, U=r\)，则U中任意r个线性无关的向量都是U的一个基。

7、命题3：设\(dim \, U=r\)，设\(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U\)。如果U中每一个向量都可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_r \(线性表出，那么\)\alpha_1,\dots,\alpha_r $是U的一个基。

8、命题4：设U和W都是\(K^n\)的非零子空间，如果\(U\subseteq W\)，那么\(dim \, U \leqslant dim \, W\)。

9、命题5：设U和W是\(K^n\)的两个非零子空间，且\(U\subseteq W\)，如果\(dim \, U = dim \, W\)，那么\(U= W\)。

10、定理3：向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组是这个向量组生成的子空间\(<\alpha_1,\dots,\alpha_s>\)的一个基，从而

\[dim<\alpha_1,\dots,\alpha_s>=rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}. \]

3.5 矩阵的秩

1、定理1：阶梯型矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2、定理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

3、定理3：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

4、定理4：任一矩阵A的行秩等于它的列秩。

5、定义1：矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记作\(rank (A)\)。

6、推论1：设矩阵A经过初等行变换化成阶梯型矩阵J，则A的秩等于J的非零行个数。设J的主元所在的列是第\(j_1,j_2,\dots,j_r\)列，则A的第\(j_1,j_2,\dots,j_r\)列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

7、推论2：矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

8、定理5：任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。

9、推论3：设\(s\times n\)矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

10、推论4：n级矩阵A满秩的充分必要条件是\(|A|\not=0\)。

3.6 线性方程组有解的充分必要条件

1、定理1（线性方程组有解判别定理）：数域K上线性方程组

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} \]

有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

2、定理2：数域K上n元线性方程组（1）有解时，如果它的系数矩阵等于n，那么方程组（1）有唯一解；如果A的秩小于n，那么方程组（1）有无穷多个解。

推论1：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。

3.7 齐次线性方程组的解集的结构

数域K上n元齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{1} \]

的一个解是\(K^n\)中一个向量，称它为齐次线性方程组（1）的一个解向量。齐次线性方程组（1）的解集W是\(K^n\)的一个非空子集。

性质1：若\(\gamma,\delta \in W\)，则\(\gamma+\delta \in W.\)

性质2：\(若\gamma \in W,k \in K,则k\gamma \in W.\)

由上述得，齐次线性方程组（1）的解集W是\(K^n\)的一个子空间，称它为方程组（1）的解空间。如果方程组（1）的系数矩阵A的秩等于n，那么\(W=\{\bold 0 \}\)。如果\(rank(A)<n\)，那么W是非零子空间。从而W有基。把解空间W的一个基称为齐次线性方程组（1）的一个基础解系，即：

定义1：齐次线性方程组（1）有非零解时，如果它的有限多个解\(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t\)满足：

\[\begin{aligned} &(1)\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性无关；\\ &(2)齐次线性方程组（1）的每一个解都可以由\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性表出， \end{aligned} \]

那么称\(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t\)是齐次线性方程组（1）的一个基础解系。其解集W表示为：

\[W=\{k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \,|\,k_i \in K,i=1,2,\dots,t\}. \]

通常也说齐次线性方程组（1）的全部解是：

\[k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \, ,\,k_1,k_2,\dots,k_i \in K \]

定理1：数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

\[dim \, W=n-rank(A),\tag{2} \]

其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1）有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的个数都等于\(n-rank(A)\)。

3.8 非齐次线性方程组的解集的结构

对于数域K上n元非齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} \]

设其解集为U。为此考虑相应的齐次线性方程组

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{2} \]

称它为非齐次线性方程组（1）的导出组。导出组的解空间用W表示。

性质1：若\(\gamma,\delta \in U\)，则\(\gamma-\delta \in W.\)

性质2：\(若\gamma \in U,\eta \in W,则\gamma+\eta \in U.\)

定理1：如果数域K上n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解集U为

\[U=\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}, \tag{3} \]

其中\(\gamma_0\)是非齐次线性方程组（1）的一个解（称\(\gamma_0\)是特解），W是方程组（1）的导出组的解空间。

我们把集合\(\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}\)记作\(\gamma_0+W\)。称它是一个W型的线性流形（或子空间W的一个陪集），把\(dim\,W\)称为线性流形\(\gamma_0+W\)的维数。

注：U不是子空间，因为U对于加法和数乘都不封闭。

推论1：如果n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解唯一的充分必要条件是：它的导出组（2）只有零解。