数学学习笔记0

唯一分解定理 & 分解质因数

任何一个正整数 $n > 1$ 都可以唯一地分解为一组质数的乘积, $n = \Pi_{k=1}^{inf} p_k^{e_k}$

证明
数学归纳法, 如果一个小于 $N$ 的自然数都符合, 那么讲 $N$ 分解成任意两个数的乘积, 再将表示法合并起来 (显然所有质数和 $4$ 都符合)

• $[2, n]$ 内的质数个数大约为 $\frac{n}{log(n)}$
• 约数个数方案数 $(e_1 + 1)(e_2 + 1)....(e_k + 1)$
• 约数和 $(1 + p_1^1 + p_1^2 + ... + p_1^{e_1})(1 + p_2^1 + p_2^2 + ... + p_2^{e_2})....$

计算方法都可以用 分解质因数 考虑, 于是这样可以把一个数 $N$ 拆成若干个独立的部分

互质 & GCD & LCM

如果 $gcd(a, b) = 1$ , 则 $a$ 和 $b$ 互质, 也就是说他们没有共同的质因数

$gcd(a, b) = gcd(a - b, b) = gcd(a + b, b)$

$gcd(na, nb) = n \times gcd(a, b)$

$gcd(a, b) = \frac{a \times b}{lcm(a, b)}$

对于一个质因数 $p_i$, 如果在 $a$ 中出现了 $e_a$ 次, 在 $b$ 中出现了 $e_b$ 次, 则该质因数在 $gcd$ 中出现 $min(e_a, e_b)$ 次, 在 $lcm$ 出现 $max(e_a, e_b)$ 次

整除

• 如果 $a | b$ 并且 $b | c$ , 那么 $a | c$
• 如果 $a | b$ 且 $a | c$ , 对于任意整数 $x, y$ , 有 $a | (bx + cy)$
• $m \neq 0$ 且 $a | b$ 等价于 $am | bm$
• $ax + by = 1, a | n , b | n ,$ 那么 $ab | n$
• $b = q \times d + c$ , 那么 $d | b$ 的充要条件是 $d | c$
• 若 $2$ 能整除 $a$ 的最末位 ( $0$ 可以被任何数整除), 则 $2 | a$, 若 $4$ 能整除 $a$ 的最后 $2$ 位 , 则 $4 | a$ , 若 $2$ 能整除 $a$ 的最后 $3$ 位 , 则 $8 | a$...
• 若 $x \times a \equiv y \times b \pmod n$ , 则 $x \times a \equiv y \times b + n \times p + n \times q + ... \pmod n$
• 若 $3$ 能整除 $a$ 的各位数字之和, 则 $3 | a$ , 若 $9$ 能整除 $a$ 的各位数字之和则 $9 | a$

同余

$a \equiv b \pmod m$ 意味着 $a - b = m \times k$

• 自反性 $a \equiv a \pmod m$
• 对称性 若 $a \equiv b \pmod m$ , 则 $b \equiv a \pmod m$
• 传递性 若 $a \equiv b \pmod m$ , $b \equiv c \pmod m$ , 则 $a \equiv c \pmod m$
• 同加性 若 $a \equiv b \pmod m$ , 则 $a + c \equiv b + c \pmod m$
• 同乘性 若 $a \equiv b \pmod m$ , 则 $a \times c \equiv b \times c \pmod m$
• 同幂性 若 $a \equiv b \pmod m$ , 则 $a^n \equiv b^n \pmod m$
• 循环性 对于 $a ^ x \bmod m$, 构造出无限长的 $x$ 序列, 发现必定存在一个小于 $m$ 的循环节, 所以如果一个数出现 $k$ 次, 循环节必定循环了 $k$ 次
• 推论 若 $a \bmod p = x, a \bmod q = x, (p, q)$ 互质, 则 $a \bmod (p \times q) = x$

Miller_Rabin素性测试

常规判定素数方法： 从 $1至\sqrt{n}$ 中枚举 $p$ ，判断 $p | n$

Miller_Rabin
对于一个 $n$ ,假如它是质数
设 $n - 1 = d \times 2^r$ , 其中 $d$ 是一个奇数
对于每一个 $1 \leq a < n$ 对于下面两种条件,至少有一个是成立的

• $a^d \equiv 1 \pmod n$
• 存在 $0 \leq i < r$ , 满足 $a^{d\times2^i}\equiv n-1\pmod n$

于是当前对于 $1 \leq a<n$

• 满足至少一个条件 --> $n$ 可能是质数
• 两个条件都不满足 --> $n$ 一定不是质数

于是可以寻找对个 $a$ 对 $n$ 进行检测, 如果全部通过检测有极大概率 $n$ 为质数

bool miller_rabin(int n, int a) {
	int d = n - 1, r = 0;
	while (!(d & 1)) 
		d >>= 1, r++;
	int x = ksm(a, d, n);
	if (x == 1) return true;
	for (int i = 0; i < r; i++) {
		if (x == n - 1) return true;
		x = 1ll * x * x % n;
	}
	return false;
} 
 
bool prime(int n) {
	if (n < 2) return false;
	int prime_list[10] = {2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 37, 41, 43};
	for (int a = 0; a < 10; a++) {
		if (n == prime_list[a]) return true;
		if (!miller_rabin(n, prime_list[a])) return false;
	}
	return true;
}

逆元

如果 $gcd(a,m) = 1$ 且存在唯一的 $b$ 存在 $a \times b \equiv 1 \pmod m$ 且 $1\leq b<m$, $b$ 为 $a$ 在模 $m$ 意义下的逆元

费马小定理

$a ^ {p - 1}\equiv 1\pmod p (p 为素数, gcd(a, p) = 1)$

欧拉定理

$a ^ {\phi(m)} \equiv 1 \pmod m (gcd(a, m) = 1)$

扩展欧拉定理

• $c < \phi(m)$ 则 $a^c\equiv a^c \pmod m$
• $c \ge \phi(m)$ 则 $a^c\equiv a^{[c \bmod \phi(m)] + \phi(m)} \pmod m$

线性求逆元

$a ^ {p - 1}\equiv 1\pmod p (gcd(a, p) = 1)$
$m \bmod a = m - a \times \lfloor \frac{m}{a} \rfloor$

设 $b = m \bmod a$
$a^{-1}\equiv a^{-1} \times b\times b^{-1} = a^{-1}\times (m - a \times \lfloor \frac{m}{a} \rfloor)\times b^{-1} \pmod m$

得 $a^{-1}\equiv -\lfloor \frac{m}{a} \rfloor \times b^{-1} \pmod m$

扩展欧几里得

裴蜀定理

对于两个整数 $a, b$, 一定存在一组解使得 $ax + by = gcd(a, b)$

求出不定方程 $ax + by = gcd(a, b)$ 的一组特解

$ax + by = gcd(a, b)$

$ax + by = gcd(b, a \bmod b)$

$bx + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y = gcd(b, a \bmod b)$

$ay + b(x - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y) = gcd(b, a \bmod b)$

边界情况
当 $b = 0$ 时 , $x = 1 , y = 0$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1; y = 0;
		return ;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int tmp = x;
	x = y; 
	y = tmp - (a / b) * y;
}

通解公式
$x = x_0 + \frac{b}{gcd(a, b)} \times t, y = y_0 - \frac{a}{gcd(a, b)} \times t$

求出不定方程 $ax + by = c$ 的一组特解

根据 裴蜀定理 判断是否 $gcd(a, b) | c$

然后求出 $ax + by = gcd(a, b)$ 的一组特解 $(x_0, y_0)$

$x_0 = x_0 \times \frac{c}{gcd(a, b)} , y_0 = y_0 \times \frac{c}{gcd(a, b)}$

通解公式
$x = x_0 + \frac{b}{gcd(a, b)} \times t, y = y_0 - \frac{a}{gcd(a, b)} \times t$

扩展欧几里得 一般用于解 同余方程 $a \times x \equiv c \pmod m$

原根

定义
在模 $m$ 的意义下, 算出 $a^1, a^2, a^3 ... a^{\phi(m)}$, 如果这些数两两互不相等, 则 $a$ 为模 $m$ 意义下的原根

给定一个 $m$ 找到一个在模 $m$ 意义下的原根 $a$
发现一个数 $m$ 存在原根只可能是 $2, 4, p^a, 2p^a$ , 又发现原根 $a$ 一定 $\leq 10$, 于是可以暴力判断check

优化
check的时候发现对于 $a^i = a^j (i < j)$ 必定会存在 $a^k = 1 (k = j - i)$, 发现 $k$ 只可能是 $k | \phi(m)$ (可以用欧拉定理和循环节考虑), 于是可以 $\sqrt m$ 求解

bool check(int m, int a) {
	int phi = get_phi(m);
	for (int i = 2; i <= sqrt(phi); i++) {
		if (phi % i == 0) {
			if (ksm(a, i, m) == 1) return false;
			if (ksm(a, m / i, m) == 1) return false;
		}
	}
	return true;
} 
 
int get_yg(int m) {
	for (int i = 1; i; i++) {
		if (check(m, i)) return i;
	}
}

BSGS

求 $a ^ x \equiv b \pmod p$ 的一个解, $p \le 10^9 且是质数$

朴素求法
枚举 $x$, 由于极限情况是原根, 也就是循环节长度最多为 $p - 1$ , 则 $1 \le x < p - 1$, 判断即可

BSGS
令 $S = \sqrt p$, 列出矩阵

$\begin{pmatrix}a^0&a^1 & a^2 & ... & a^{S - 1}\\a ^ S&a^{S + 1} & a^{S + 2} & ... & a^{2S-1}\\... & ... & ... &... & ...\end{pmatrix}$

将第一行的值保存下来 $($ 可用 $sort + binary, set, hash$ $)$, 对于每一行暴力判断 $b$ 有没有出现在这一行, 对于 $1 \le i \le n$, 只需查找 $b \times a^{-(i-1)\times S}$ 是否在第一行出现过就行了

思想类似于分块, 复杂度 $hash: \sqrt p$, 非 $hash \sqrt p \times log(p)$

int bsgs(int a, int b, int p) {
	int s = sqrt(p);
	set<int> se;
	int v = 1;
	for (int i = 0; i < s; i++) {//钦定第一行为第0行 
		if (v == b) return i;
		se.insert(v);
		v = 1ll * v * a % p;
	}
	for (int i = 1; i <= s; i++) {
		int v = 1ll * b * ksm(ksm(a, i * s, p), p - 2, p) % p;// b * a^(-i * s)
		if (s.count(v) != 0) {
			int v = ksm(a, i * s, p);
			for (int j = i * s; j; j++) {
				if (v == b) return j;
				v = 1ll * v * a % p;
			}
		}
	}
} 

欧拉函数

$\phi(x) : [1, x]内与 x 互质的数的个数$

性质 : $\phi(a \times b) = \phi(a) \times \phi(b) (gcd(a, b) = 1)$

设 $x = \Pi p_i^{e_i}$ , 则 $\phi(x) = x \times \Pi (1 - \frac{1}{p_i})$

证

$\phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}$

$\phi(x) = \Pi \phi(p_i^{e_i}) = \Pi p_i^k - p_i^{k - 1} = x \times \Pi (1 - p_i^{-1})$

积性函数

$f(a \times b) = f(a) \times f(b) (gcd(a, b) = 1)$

• $f(x) = \Pi f(p_i^{e_i})$

完全积性函数

$f(a \times b) = f(a) \times f(b)$

• $f(x) = \Pi f(p_i)^{e_i}$