POJ 2417 Discrete Logging 离散对数
链接:http://poj.org/problem?id=2417
题意:
思路:求离散对数,Baby Step Giant Step算法基本应用。
下面转载自:AekdyCoin
【普通Baby Step Giant Step】
【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 为素数
【思路】
我们能够做一个等价
x = i * m + j ( 0 <= i < m, 0 <=j < m) m = Ceil ( sqrt( C) )
而这么分解的目的无非是为了转化为:
(A^i)^m * A^j = B ( mod C)
之后做少许暴力的工作就能够解决这个问题:
(1) for i = 0 -> m, 插入Hash (i, A^i mod C)
(2) 枚举 i ,对于每个枚举到的i,令 AA = (A^m)^i mod C
我们有
AA * A^j = B (mod C)
显然AA,B,C均已知,而因为C为素数,那么(AA,C)无条件为1
于是对于这个模方程解的个数唯一(能够利用扩展欧几里得或 欧拉定理来求解)
那么对于得到的唯一解X,在Hash表中寻找,假设找到,则返回 i * m + j
注意:因为i从小到大的枚举,而Hash表中存在的j必定是对于某个剩余系内的元素X 是最小的(就是指标)
所以显然此时就能够得到最小解
假设须要得到 x > 0的解,那么仅仅须要在上面的步骤中推断 当 i * m + j > 0 的时候才返回
(转载结束)
本题仅仅是最基础的应用,复杂度是
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <cstdlib> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <ctype.h> #include <algorithm> #include <string> #include <set> #define PI acos(-1.0) #define maxn 10005 #define INF 0x7fffffff #define eps 1e-8 typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; using namespace std; LL pow_mod(LL aa,LL ii,LL nn) { if(ii==0) return 1%nn; LL temp=pow_mod(aa,ii>>1,nn); temp=temp*temp%nn; if(ii&1) temp=temp*aa%nn; return temp; } struct b_step { int i,m; } bb[100005]; bool cmp(b_step a,b_step b) { return a.m==b.m?a.i<b.i:a.m<b.m; } int BiSearch(int m,LL num) { int low=0,high=m,mid; while(low<=high) { mid=(low+high)>>1; if(bb[mid].m==num) return bb[mid].i; if(bb[mid].m<num) low=mid+1; else high=mid-1; } return -1; } void giant_step_baby_step(LL b,LL n,LL p) { int m=(int)ceil(sqrt((double)p)); bb[0].i=0,bb[0].m=1; for(int i=1; i<m; i++) { bb[i].i=i; bb[i].m=bb[i-1].m*b%p; } sort(bb,bb+m,cmp); int top=0; for(int i=1; i<m; i++) if(bb[i].m!=bb[top].m) bb[++top]=bb[i]; LL bm=pow_mod(pow_mod(b,p-2,p),m,p); LL ans=-1; LL tmp=n; for(int i=0; i<m; i++) { int pos=BiSearch(top,tmp); if(~pos) { ans=m*i+pos; break; } tmp=((LL)tmp*bm)%p; } if(!~ans) puts("no solution"); else printf("%d\n",ans); } int main() { LL p,b,n; while(~scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n)) { giant_step_baby_step(b,n,p); } return 0; }