哈夫曼树
一、哈夫曼树的概念和定义
什么是哈夫曼树？
让我们先举一个样例。
判定树：
在非常多问题的处理过程中，须要进行大量的条件推断，这些推断结构的设计直接影响着程序的运行效率。比如，编制一个程序，将百分制转换成五个等级输出。大家可能觉得这个程序非常easy，而且非常快就能够用下列形式编写出来：
if(score<60) cout<<"Bad"<<endl; else if(score<70) cout<<"Pass"<<endl else if(score<80) cout<<"General"<<endl; else if(score<90) cout<<"Good"<<endl; else cout<<"Very good!"<<endl;
若考虑上述程序所耗费的时间，就会发现该程序的缺陷。在实际中，学生成绩在五个等级上的分布是不均匀的。当学生百分制成绩的录入量非常大时，上述判定过程须要重复调用，此时程序的运行效率将成为一个严重问题。
以下我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树，即总的比較次数最少的判定树。
第一种构造方式：
另外一种构造方式：
这两种方式，显然后者的判定过程的效率要比前者高。在也没有别地判定过程比另外一种方式的效率更高。
我们称判定过程最优的二叉树为哈夫曼树，又称最优二叉树
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定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念：
路径： 树中一个结点到还有一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。
树的路径长度：从树根到每个结点的路径长度之和。
结点的带权路径长度：在一棵树中，假设其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值
之积称为该结点的带权路径长度（weighted path length）
什么是权值?( From 百度百科 )
计算机领域中（数据结构）
权值就是定义的路径上面的值。能够这样理解为节点间的距离。通常指字符相应的二进制编码出现的概率。
至于霍夫曼树中的权值能够理解为：权值大表明出现概率大！
一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.
abcd四个叶子结点的权值为7,5,2,4. 这个7,5,2,4是依据实际情况得到的,比方说从一段文本中统计出abcd四个字母出现的次数分别为7,5,2,4. 说a结点的权值为7,意思是说a结点在系统中占有7这个份量.实际上也能够化为百分比来表示,但反而麻烦,实际上是一样的.
树的带权路径长度：假设树中每一个叶子上都带有一个权值，则把树中全部叶子的带权路径长度之和称为树的带
权路径长度。
设某二叉树有n个带权值的叶子结点，则该二叉树的带权路径长度记为：
公式中，Wk为第k个叶子结点的权值；Lk为该结点的路径长度。
演示样例：
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一般来说，用n（n>0）个带权值的叶子来构造二叉树，限定二叉树中除了这n个叶子外仅仅能出现度为2的结点。
那么符合这样条件的二叉树往往可构造出很多颗，
当中带权路径长度最小的二叉树就称为哈夫曼树或最优二叉树
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二、哈夫曼树的构造
依据哈弗曼树的定义，一棵二叉树要使其WPL值最小，必须使权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点
越远离根结点。
哈弗曼根据这一特点提出了一种构造最优二叉树的方法，其基本思想例如以下：
以下演示了用Huffman算法构造一棵Huffman树的过程：
三、哈夫曼树的在编码中的应用
在电文传输中，须要将电文中出现的每一个字符进行二进制编码。在设计编码时须要遵守两个原则：
（1）发送方传输的二进制编码，到接收方解码后必须具有唯一性，即解码结果与发送方发送的电文全然一样；
（2）发送的二进制编码尽可能地短。以下我们介绍两种编码的方式。
1. 等长编码
这样的编码方式的特点是每一个字符的编码长度同样（编码长度就是每一个编码所含的二进制位数）。如果字符集仅仅含有4个字符A，B，C，D，用二进制两位表示的编码分别为00，01，10，11。若如今有一段电文为：ABACCDA，则应发送二进制序列：00010010101100，总长度为14位。当接收方接收到这段电文后，将按两位一段进行译码。这样的编码的特点是译码简单且具有唯一性，但编码长度并非最短的。
2. 不等长编码
在传送电文时，为了使其二进制位数尽可能地少，能够将每一个字符的编码设计为不等长的，使用频度较高的字符分配一个相对照较短的编码，使用频度较低的字符分配一个比較长的编码。比如，能够为A，B，C，D四个字符分别分配0，00，1，01，并可将上述电文用二进制序列：000011010发送，其长度仅仅有9个二进制位，但随之带来了一个问题，接收方接到这段电文后无法进行译码，由于无法断定前面4个0是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯一，因此这样的编码方法不可使用。
因此，为了设计长短不等的编码，以便降低电文的总长，还必须考虑编码的唯一性，即在建立不等长编码时必须使不论什么一个字符的编码都不是还有一个字符的前缀，这宗编码称为前缀编码（prefix code）
（1）利用字符集中每一个字符的使用频率作为权值构造一个哈夫曼树；
（2）从根结点開始，为到每一个叶子结点路径上的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向形成该叶子结点的编码
例题：
如果一个文本文件TFile中仅仅包括7个字符{A，B，C，D，E，F，G}，这7个字符在文本中出现的次数为{5，24，7，17，34，5，13}
利用哈夫曼树能够为文件TFile构造出符合前缀编码要求的不等长编码
详细做法：
1. 将TFile中7个字符都作为叶子结点，每一个字符出现次数作为该叶子结点的权值
2. 规定哈夫曼树中全部左分支表示字符0，全部右分支表示字符1,将依次从根结点到每一个叶子结点所经过的分支的二进制位的序列作为该
结点相应的字符编码
3. 因为从根结点到不论什么一个叶子结点都不可能经过其它叶子，这样的编码一定是前缀编码，哈夫曼树的带权路径长度正好是文件TFile编码
的总长度
通过哈夫曼树来构造的编码称为哈弗曼编码（huffman code）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 10 // 带编码字符的个数，即树中叶结点的最大个数
#define M (2*N-1) // 树中总的结点数目
class HTNode{ // 树中结点的结构
public:
unsigned int weight;
unsigned int parent,lchild,rchild;
};
class HTCode{
public:
char data; // 待编码的字符
int weight; // 字符的权值
char code[N]; // 字符的编码
};
void Init(HTCode hc[], int *n){
// 初始化，读入待编码字符的个数n，从键盘输入n个字符和n个权值
int i;
printf("input n = ");
scanf("%d",&(*n));
printf("\ninput %d character\n",*n);
fflush(stdin);
for(i=1; i<=*n; ++i)
scanf("%c",&hc[i].data);
printf("\ninput %d weight\n",*n);
for(i=1; i<=*n; ++i)
scanf("%d",&(hc[i].weight) );
fflush(stdin);
}//
void Select(HTNode ht[], int k, int *s1, int *s2){
// ht[1...k]中选择parent为0，而且weight最小的两个结点，其序号由指针变量s1，s2指示
int i;
for(i=1; i<=k && ht[i].parent != 0; ++i){
; ;
}
*s1 = i;
for(i=1; i<=k; ++i){
if(ht[i].parent==0 && ht[i].weight<ht[*s1].weight)
*s1 = i;
}
for(i=1; i<=k; ++i){
if(ht[i].parent==0 && i!=*s1)
break;
}
*s2 = i;
for(i=1; i<=k; ++i){
if(ht[i].parent==0 && i!=*s1 && ht[i].weight<ht[*s2].weight)
*s2 = i;
}
}
void HuffmanCoding(HTNode ht[],HTCode hc[],int n){
// 构造Huffman树ht，并求出n个字符的编码
char cd[N];
int i,j,m,c,f,s1,s2,start;
m = 2*n-1;
for(i=1; i<=m; ++i){
if(i <= n)
ht[i].weight = hc[i].weight;
else
ht[i].parent = 0;
ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = 0;
}
for(i=n+1; i<=m; ++i){
Select(ht, i-1, &s1, &s2);
ht[s1].parent = i;
ht[s2].parent = i;
ht[i].lchild = s1;
ht[i].rchild = s2;
ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;
}
cd[n-1] = '\0';
for(i=1; i<=n; ++i){
start = n-1;
for(c=i,f=ht[i].parent; f; c=f,f=ht[f].parent){
if(ht[f].lchild == c)
cd[--start] = '0';
else
cd[--start] = '1';
}
strcpy(hc[i].code, &cd[start]);
}
}
int main()
{
int i,m,n,w[N+1];
HTNode ht[M+1];
HTCode hc[N+1];
Init(hc, &n); // 初始化
HuffmanCoding(ht,hc,n); // 构造Huffman树，并形成字符的编码
for(i=1; i<=n; ++i)
printf("\n%c---%s",hc[i].data,hc[i].code);
printf("\n");
return 0;
}
—— 生命的意义，在于赋予它意义。
