【剑指offer】面试题43：n个骰子的点数

第一种思路是，每一个骰子的点数从最小到最大，如果为1-6，那么全部的骰子从最小1開始，我们如果一种从左向右的排列，右边的最低，索引从最低開始，推断和的情况。

def setTo1(dices, start, end):
	for i in range(start, end):
		dices[i] = 1

def probability(n, s, dmax = 6, dmin = 1):
	if s < n * dmin or s > n * dmax : return 0
	dices = [1] * n
	i = n - 1
	total = 0

	while i >= 0:
		curSum = sum(dices)
		if curSum == s:			
			print dices
			total += 1
			# find first one that can +1	
			for j in range(i, -1, -1):
				if dices[j] < dmax and s - sum(dices[0:j+1]) >= n - j*dmin:
					dices[j] += 1
					setTo1(dices, j + 1, n)
					i = n - 1
					break
				else:
					i -= 1
		elif curSum < s:
			if dices[i] < dmax:
				dices[i] += 1
				i = n - 1
			else:
				i -= 1

	print "total = {0}, prob = {1}%".format(total, total*100/dmax**n)	
	return total

若当前和小于s，则检验当前索引处的骰子是否能添加�1，若能，则添加�，否则查看其前面的是否能添加�。若相等，那么我们统计信息后，要变化当前的情形，以便处理下一种情况，由于 索引是从低位開始到当前位的，所以我们从当前索引開始，向前找能继续添加�的骰子，这里的推断标准是当前骰子的点数小于最小值，并且要保证其后的骰子的最小值为1，比方 1,4,1, s = 6， 当前索引指向4， 这里的4尽管小于最大点数6， 但若其再加一，第三个骰子就的为0，这不符合要求。若找到能够加一的骰子，那就将该骰子点数加1， 将其后的骰子都置为1，索引回到最后，開始又一次加起。如：1,1,6，s = 8， 索引指向6， 改动后为1,2,1，索引指向最后的1,。若没有找到能够再添加�的骰子，那么就结束。如6,1,1，s = 8。

事实上若给定的n不大的话，我们能够设一个n位整数，从n个1開始，逐次加一，来推断各个位的和是否满足要求，直到达到最大值，n个6。

这个问题事实上动态规划的特点非常明显。

'''
	@ state function: dp[i, j]: the total cases of sum = j, composed by i dices
	@ state tranfor function: dp[i, j] = sum(dp[i - 1, j - k]) for k in [dmin, dmax] 
	@ dp[i, j] = 0, j > i * dmax or j < i * dmin
	@ init condition: dp[1, k] = 1, for k in [dmin, dmax], dp[1, k] = 0, for other k
'''		
def dp_probability(n, s, dmax = 6, dmin = 1):
	if s < n * dmin or s > n * dmax : 
		return 0
	dp1 = [0] * (n * dmax + 1)
	
	#init dp[1, :]
	for i in range(1, dmax + 1):
		dp1[i] = 1
	# i: the number of dices
	for i in range(2, n + 1):
		dp2 = [0] * (n * dmax + 1)
		# j: range of i dices
		for j in range(dmin * i, dmax * i + 1):
			# k: range of new added dice 
			for k in range(dmin, dmax + 1):
				if j > k :
					dp2[j] += dp1[j - k]
		print dp2
		dp1 = dp2
	print "total = {0}, prob = {1}%".format(dp2[s], dp2[s]*100/dmax**n)
	return dp2[s]