hdu 4651 Partition (利用五边形定理求解切割数)

下面内容摘自维基百科：

五边形数定理[编辑]

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描写叙述欧拉函数展开式的特性[1] [2]。欧拉函数的展开式例如以下：

\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.

亦即

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，仅仅留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

当中符号为- - + + - - + + .....

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，只是若仅仅是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

和切割函数的关系

欧拉函数的倒数是切割函数的母函数，亦即：

\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k

当中p(k)为k的切割函数。

上式配合五边形数定理，能够得到

(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1

考虑x^n项的系数，在 n>0 时，等式右側的系数均为0，比較等式二側的系数，可得

p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

因此可得到切割函数p(n)的递归式

p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

以n=10为例

p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42
知道这个定理的话，hdu 4651就能够直接套模板了
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define MP make_pair
#define LL long long
#define CLR(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

using namespace std;

const int maxn = 100100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 1000000007;

int fiv[maxn];
LL p[maxn];

void init()
{
    int tot = 1;
    for(int i = 1; fiv[tot - 1] < maxn; i ++)///五边形数
    {
        fiv[tot ++] = i*(3*i-1)/2;
        fiv[tot ++] = i*(3*i+1)/2;
    }
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; i ++)///i的切割数p(i)
    {
        p[i] = 0;int flag = 1;
        for(int j = 1; ; j ++)
        {
            if(fiv[j] <= i)
            {
                p[i] += flag * p[i - fiv[j]];
                p[i] = (p[i] % MOD + MOD) % MOD;
            }
            else break;
            if(j % 2 == 0) flag = -flag;
        }
    }
}

int main()
{
    int T, n;
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T --)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%lld\n", p[n]);
    }
}


posted @ 2014-07-01 19:28  hrhguanli  阅读(452)  评论(0)  编辑  收藏  举报