递归算法的时间复杂度分析
在算法分析中,当一个算法中包括递归调用时,其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上,这个问题是数学上求解渐近阶的问题,而递归方程的形式多种多样,其求解方法也是不一而足,比較经常使用的有下面四种方法:
(1)代入法(Substitution Method)
代入法的基本步骤是先猜測递归方程的显式解,然后用数学归纳法来验证该解是否合理。
(2)迭代法(Iteration Method)
迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端,使之成为一个非递归的和式,然后通过对和式的预计来达到对方程左端即方程的解的预计。
(3)套用公式法(Master Method)
这种方法针对形如“T(n) = aT(n/b) +
f(n)”的递归方程。这样的递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系,即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题,递归地求解这a个子
问题,然后通过对这a个子间题的解的综合,得到原问题的解。
(4)差分方程法(Difference Formula Method)
能够将某些递归方程看成差分方程,通过解差分方程的方法来解递归方程,然后对解作出渐近阶预计。
以下就以上方法给出一些样例说明。
一、代入法
大整数乘法计算时间的递归方程为:T(n) = 4T(n/2) + O(n),当中T(1) = O(1),我们推測一个解T(n) = O(n2
),依据符号O的定义,对n>n0,有T(n) < cn2
- eO(2n)(注意,这里减去O(2n),因其是低阶项,不会影响到n足够大时的渐近性),把这个解代入递归方程,得到:
T(n) = 4T(n/2) + O(n)
≤ 4c(n/2)2
- eO(2n/2)) + O(n)
= cn2
- eO(n) + O(n)
≤ cn2
当中,c为正常数,e取1,上式符合 T(n)≤cn2
的定义,则可觉得O(n2
)是T(n)的一个解,再用数学归纳法加以证明。
二、迭代法
某算法的计算时间为:T(n) = 3T(n/4) + O(n),当中T(1) = O(1),迭代两次可将右端展开为:
T(n) = 3T(n/4) + O(n)
= O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/42
) )
= O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42
) + 3T(n/43
) ) )
从上式能够看出,这是一个递归方程,我们能够写出迭代i次后的方程:
T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42
) + ... + 3( n/4i
+ 3T(n/4i+1
) ) ) )
当n/4i+1
=1时,T(n/4i+1
)=1,则
T(n) = n + (3/4) + (32
/42
)n + ... + (3i
/4i
)n + (3i+1
)T(1)
< 4n + 3i+1
而由n/4i+1
=1可知,i<log4
n,从而
3i+1
≤ 3log4
n+1
= 3log3
n*log4
3
+1 = 3nlog4
3
代入得:
T(n) < 4n + 3nlog4
3,即T(n) = O(n)。
三、套用公式法
这种方法为预计形如:
T(n) = aT(n/b) + f(n)
当中,a≥1和b≥1,均为常数,f(n)是一个确定的正函数。在f(n)的三类情况下,我们有T(n)的渐近预计式:
1.若对于某常数ε>0,有f(n) = O(nlogb
a-ε
),则T(n) = O(nlogb
a
)
2.若f(n) = O(nlogb
a
),则T(n) = O(nlogb
a
*logn)
3.若f(n) = O(nlogb
a+ε
),且对于某常数c>1和全部充分大的正整数n,有af(n/b)≤cf(n),则T(n)=O(f(n))。
设T(n) = 4T(n/2) + n,则a = 4,b = 2,f(n) = n,计算得出nlogb
a
= nlog2
4
= n2
,而f(n) = n = O(n2-ε
),此时ε= 1,依据第1种情况,我们得到T(n) = O(n2
)。
这里涉及的三类情况,都是拿f(n)与nlogb
a
作比較,而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下,函数nlogb
a
较大,则T(n)=O(nlogb
a
);在第三类情况下,函数f(n)较大,则T(n)=O(f (n));在第二类情况下,两个函数一样大,则T(n)=O(nlogb
a
*logn),即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。
但上述三类情况并没有覆盖全部可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙:f(n)小于但不是多项式地小于nlogb
a
,第二类与第三类之间也存在这样的情况,此时公式法不适用。