四边形优化DP(POJ_1160 && HDU_2829 && HDU_3480 && HDU_3506 && HDU_3516)
这几天补了一下四边形优化DP。。。（证明的论文也就是假装看看），下面来总结一下：
我们一般列出DP转移方程：dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + w[i][j]) 这种形式的时候，如果对于i < i' < j < j' : w[i'][j] <= w[i][j'] 并且 w[i][j] + w[i'][j'] <= w[i'][j] + w[i][j'] 那么我们称w满足四边形不等式。由此，我们有定理1 ：dp[i][j]也满足四边形不等式。定理2：s[i][j](对于dp[i][j]的最优决策) ，满足: i < j : s[i-1][j] <= s[i][j] <= s[i][j+1] , s[i][j-1] <= s[i][j] <= s[i+1][j] （这两个可以互推，为什么要加入后面这个，因为做了5题下来，感觉四边形优化dp还是分成两类的）。
为什么说分成两类：一类的递推式是从大区间->小区间进行递推（不是区间DP），比如前三道题。用第一个不等式
第二类递推式就是区间DP，小区间->大区间。这种时候用第二个不等式。网上好多人都是直接从长度入手写的（果然可能我的思维比较奇葩一点，反正我这样写自己感觉自然一点）。
第一类写法是：i从小到大，j从大到小。第二类写法反过来：i从大到小，j从小到大，这个应该都能理解。
然后我觉得四边形优化DP还有一点比较重要的就是边界条件（等到做的题目多了，再回来总结，现在感觉就是有个笼统的边界条件+每一题的特定的边界条件）。
虽然感觉四边形优化DP（毕竟对于斜率优化DP来说）理解起来比较麻烦，证明起来更麻烦，其实写起来还是蛮容易的。至于有的时候你实在可能想不出来w[i][j]是否满足条件，这个时候看数据范围，o(n^2)过，o(n^3)过不了的基本就差不多用吧。
下面来说题，贴代码（先简写一下，毕竟作业还没写完，实验报告还没抄完，等过几天再来补吧）：
POJ_1160：
dp[i][j] = min(dp[i-1][k] + w[k+1][j]):
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define INF 0x7ffffff
#define ll long long
#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)
using namespace std;
int v[333],P,V;
int dp[33][333];
int s[33][333];
int w[333][333];
int main()
{
//freopen("test.in","r",stdin);
while(~scanf("%d%d",&V,&P)){
FOR(i,1,V+1){
scanf("%d",&v[i]);
}
FOR(i,1,V+1){
w[i][i] = 0;
FOR(j,i+1,V+1){
w[i][j] = w[i][j-1] +v[j] - v[(i+j)>>1];
}
}
FOR(i,1,P+1){
FOR(j,1,V+1){
dp[i][j] = INF;
}
}
FOR(i,1,V+1){
dp[1][i] = w[1][i];
s[1][i] = 0;
}
FOR(i,2,P+1){
s[i][V+1] = V;
for(int j = V;j >= i;j --){
FOR(k,s[i-1][j],s[i][j+1]+1){
if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w[k+1][j]){
dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j];
s[i][j] = k;
}
}
}
}
printf("%d\n",dp[P][V]);
}
return 0;
}HDU_2829:
dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j];#include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <queue> #define INF (ll)1<<60 #define ll long long #define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++) using namespace std; ll v[1111],P,V; ll dp[1111][1111]; ll s[1111][1111]; ll w[1111][1111]; ll sum[1111]; int main() { //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%I64d%I64d",&V,&P) && (V || P)){ FOR(i,1,V+1){ scanf("%I64d",&v[i]); } sum[0] = 0; FOR(i,1,V+1){ sum[i] = sum[i-1]+v[i]; } FOR(i,1,V+1){ w[i][i] = 0; FOR(j,i+1,V+1){ w[i][j] = w[i][j-1] + v[j]*(sum[j-1] - sum[i-1]); } } FOR(i,1,P+2){ FOR(j,i,V+1){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,V+1){ dp[1][i] = w[1][i]; s[1][i] = 0; } FOR(i,2,P+2){ s[i][V+1] = V; for(int j = V;j >= i;j --){ for(int k = s[i-1][j];k <= s[i][j+1];k ++){ if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w[k+1][j]){ dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j]; s[i][j] = k; } } } } printf("%I64d\n",dp[P+1][V]); } return 0; }HDU_3480:这道题有一个问题就是内存的问题，其实也不麻烦，不要保存w[i][j]就行了dp[i][j] = dp[i-1][k] + w;w = (num[j] - num[k+1]) * (num[j] - num[k+1]);#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++) #define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --) #define ll long long #define INF 0x7ffffff using namespace std; const int MAXN = 11111; int num[MAXN]; int dp[MAXN>>1][MAXN]; int s[MAXN>>1][MAXN]; int n,m; int main() { //freopen("test.in","r",stdin); int t,tCase=0; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d",&n,&m); FOR(i,1,n+1) scanf("%d",&num[i]); sort(num+1,num+n+1); FOR(i,1,m+1){ FOR(j,1,n+1){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,n+1){ s[1][i] = 0; dp[1][i] = (num[i] - num[1]) * (num[i] - num[1]); } FOR(i,2,m+1){ s[i][n+1] = n; IFOR(j,n,i-1){ FOR(k,s[i-1][j],s[i][j+1]+1){ int w = (num[j] - num[k+1]) * (num[j] - num[k+1]); if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w){ dp[i][j] = dp[i-1][k] + w; s[i][j] = k; } } } } printf("Case %d: ",++tCase); printf("%d\n",dp[m][n]); } return 0; }
HDU_3506这道题目还是蛮有意思的，是一个环形的，其实只需要再接一块就好了，然而我已开始很蠢的把接的一块写成了对称过去的了（唉。。。）dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++) #define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --) #define ll long long #define INF (ll)1<<60 using namespace std; const int MAXN = 1111; ll dp[MAXN<<1][MAXN<<1]; int num[MAXN<<1]; int sum[MAXN<<1]; int n,s[MAXN<<1][MAXN<<1]; int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%d",&n)){ FOR(i,1,n+1) scanf("%d",&num[i]),num[n+i] = num[i]; sum[0] = 0; FOR(i,1,2*n) sum[i] = sum[i-1] + num[i]; FOR(i,1,n+1){ FOR(j,1,i){ dp[i][j] = 0; } FOR(j,i,2*n){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,n+2){ dp[i][i] = 0; s[i][i] = i; s[n+1][i] = i; } ll ans = INF; IFOR(i,n,0){ FOR(j,i+1,2*n){ FOR(k,s[i][j-1],s[i+1][j]+1){ if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]){ dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]; s[i][j] = k; } } } ans = min(ans,dp[i][n+i-1]); } printf("%I64d\n",ans); } return 0; }
HDU_3516：这道题写了好长时间，其实还是题做的少吧，一开始没看出来是一个石子合并的问题（真是蠢啊），然后之前的DP方程列出来直接上了四边形优化，然后发现四边形优化的条件是很苛刻的（dp[i][i] == 0），这个条件一开始就不是很在意，写这道题的时候真是蠢了，然后回头又看了一下证明（还是需要的）。tem = dp[i][k] + dp[k+1][j] + y[k] - y[j] + x[k+1] - x[i];dp[i][j] = min{tem};#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++) #define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --) #define ll long long #define INF (ll)1<<60 using namespace std; const int MAXN = 1111; int n; int x[MAXN],y[MAXN]; int s[MAXN][MAXN]; ll dp[MAXN][MAXN]; int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%d",&n)){ FOR(i,1,n+1) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); FOR(i,1,n+1){ FOR(j,i,n+1){ dp[i][j] = 0; s[i][j] = 0; } } FOR(i,1,n+1){ dp[i][i] = 0; dp[n+1][i] = INF; s[i][i] = i; FOR(j,i+1,n+1){ dp[i][j] = INF; } } IFOR(i,n,0){ FOR(j,i+1,n+1){ FOR(k,s[i][j-1],s[i+1][j]+1){ ll tem = dp[i][k] + dp[k+1][j] + y[k] - y[j] + x[k+1] - x[i]; if(dp[i][j] > tem){ dp[i][j] = tem; s[i][j] = k; } } } } printf("%I64d\n",dp[1][n]); } return 0; }
