Leetcode第862题：和至少为K的最短子数组（Shortest Subarray with sum at least k）

解题思路

前缀和

定义前缀和$s[0] = 0$, $s[i+1] = \displaystyle\sum\limits_{j=0}^i nums[j]$。
例如 $nums=[1,2,-1,2]$，对应的前缀和数组为$s=[0,1,3,2,4]$。

通过前缀和,可以将子数组和转换为两个前缀和的差,即
$\sum\limits_{j=left}^{right} nums[j] = \sum\limits_{j=0}^{right} nums[j] - \sum\limits_{j=0}^{left-1} nums[j] = s[right+1] - s[left]$

例如$nums$的子数组$[2,-1,2]$的和就可以用$s[4] - s[1] = 4 -1 = 3$计算出来.
此时就可以通过枚举所有$i>j$且$s[i] - s[j] \geq k$的子数组$[j,i)$,取其中最小的$i-j$作为答案.

单调队列

枚举所有前缀和子数组的时间复杂度是$O(n^2)$,使用某个数据结构维护遍历过的$s[i]$,及时移除无用的$s[i]$.

第一,当遍历到$s[i]$时,如果左边存在某个$s[j]$,满足$s[i] - s[j] \geq k$,那么无论$s[i]$右边的数字大小,都不会把$j$当作子数组的左端点,然后得到一个比$i - j$更短的子数组.因此可以将$s[j]$移除.

第二,如果$s[i] \leq s[j]$,假如后续有数字$x$能和$s[j]$组成满足要求的子数组,即$x - s[j] \geq k$,那么必然也有$x - s[i] \geq k$,由于从$s[i]$到$x$的子数组更短,因此可以将$s[j]$移除.

做完这两个优化后,再把$s[i]$加到这个数据结构中.第二个优化保证了数据结构中的$s[i]$会形成一个递增的序列,因此第一个优化移除的是序列最左侧的若干元素,第二个优化移除的是最右侧的若干元素.因此该数据结构满足移除最左端元素和最右端元素,以及在最右端添加元素,故选用双端队列.元素保持单调递增的双端队列也成为单调队列.

核心代码如下：

 int shortestSubarray(vector<int> &nums, int k) {
        int n = nums.size(), ans = n + 1;
        long s[n + 1];
        s[0] = 0L;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            s[i + 1] = s[i] + nums[i]; // 计算前缀和
        deque<int> q;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            long cur_s = s[i];
            while (!q.empty() && cur_s - s[q.front()] >= k) {
                ans = min(ans, i - q.front());
                q.pop_front(); // 优化一
            }
            while (!q.empty() && s[q.back()] >= cur_s)
                q.pop_back(); // 优化二
            q.push_back(i);
        }
        return ans > n ? -1 : ans;
    }