矢量分析
梯度和方向倒数
\[grad\varphi=\nabla \varphi=\vec{e_x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]
- 标量场在 \(\vec{l}\) 方向上(单位矢量为 \(\vec{l^\circ}\))的方向导数为
\[\frac{\partial \varphi}{\partial l}=\nabla \varphi \cdot \vec{l^\circ}
\]
散度
\[div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}
\]
\[\int_V\nabla\cdot\vec{A}~dV=\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}
\]
旋度
\[rot\vec{A}=\nabla\times\vec{A}
\]
\[\int_S(\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S}=\oint_l\vec{A}\cdot d\vec{l}
\]
哈密尔顿微分算符
\[\nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}
\]
\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}
\]
\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\]
拉普拉斯微分算子
\[\nabla^2\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}
\]
\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}
\]
\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \phi^2}
\]
静电场
库仑定律
点电荷 \(q'\) 位于 \(\vec{r'}\);点电荷 \(q\) 位于 \(\vec{r}\);点电荷 \(q'\) 到点电荷 \(q\) 为 \(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}\)。\(q'\) 对 \(q\) 的库仑力为
\[\vec{F}=\frac{q'q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}
\]
电场强度
位于 \(\vec{r'}\) 的点电荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 处产生的电场强度为
\[\vec{E}=\frac{q'}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}
\]
高斯定理
- 闭合曲面 \(S\) 包含的总电荷为 \(Q\),则该闭合曲面的通量为
\[\oint_S\vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}
\]
\[\begin{split}
\nabla \cdot \vec{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}&=\frac{q}{\varepsilon_0}
\end{split}
\]
\[\begin{split}
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \\
\oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0
\end{split}
\]
静电场的电位
\[\vec{E}=-\nabla\varphi
\]
- 位于 \(\vec{r'}\) 的点电荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 处的电位为
\[\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}
\]
\[\varphi(P)-\varphi(P_0)=\int_P^{P_0}\vec{E}\cdot d\vec{l}
\]
\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
电偶极子
- 两个等量异种电荷 \(-q\) 和 \(q\),负电荷到正电荷的有向距离为 \(\vec{l}\),则电偶极矩为
\[\vec{p}=q\vec{l}
\]
\[\varphi=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}
\]
\[\vec{E}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e_r}2\cos\theta+\vec{e_\theta}\sin\theta)
\]
电介质(绝缘体)的极化强度
- 体积 \(\Delta V\) 里电偶极矩之和为 \(\sum{\vec{p}}\),则极化强度为
\[\vec{P}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum{p}}{\Delta V}
\]
- 极化介质产生的极化电荷可以看作等效体电荷和等效面电荷,分别为
\[\rho_p(\vec{r})=-\nabla\cdot\vec{P(\vec{r})}
\]
\[\rho_{sp}=\vec{P}(\vec{r})\cdot\vec{n}
\]
电位移矢量
在电介质中,电场由自由电荷 \(\rho\) 和极化电荷(束缚电荷) \(\rho_p\) 共同产生。
- 极化介质中的电场强度为 \(\vec{E}\),极化强度为 \(\vec{P}\),则电位移矢量为
\[\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}
\]
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{D}&=\rho \\
\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=q \\
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0}
\end{split}
\]
电介质的电位
对于均匀介质(\(\varepsilon\) 为常数),
\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}
\]
介电常数
若介质是线性各向同性(均匀介质),介质的相对介电常数为 \(\varepsilon_r\),介质的介电常数为 \(\varepsilon\),极化率为 \(\chi_e\)。
\[\vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E}
\]
\[\begin{split}
\vec{D}=
&=\varepsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} \\
&=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \\
&=\varepsilon\vec{E}
\end{split}
\]
静电场的边界条件
- 分界面两侧的介电常数分别为 \(\varepsilon_1\) 和 \(\varepsilon_2\),分界面的法向量为 \(\vec{n}\),分界面上的自由电荷密度为 \(\rho_s\),则边界条件为
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_s~~~&or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_s\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~&or~~~E_{2t}=E_{1t}
\end{split}
\]
\[\begin{split}
&\varphi_1=\varphi_2\\
&\rho_s=-\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}
\end{split}
\]
- 介质 \(\varepsilon_1\) 和介质 \(\varepsilon_2\) 中电力线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\),关系为
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}
\]
- 对于导体,内部电荷为零,仅考虑外部场 \(\vec{E}\) 和 \(\vec{D}\),外法线 \(\vec{n}\),边界条件为
\[\begin{split}
D_n&=\rho_s \\
E_t&=0
\end{split}
\]
静电场的能量密度和电场能量
\[\omega_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}
\]
\[W_e=\frac{1}{2}\int_V\vec{E}\cdot\vec{D}~dV
\]
恒定电流的电场和磁场
电流密度
正电荷运动的方向为 \(\vec{n}\),取与 \(\vec{n}\) 垂直的面积元 \(\Delta S\),通过面积元的电流为 \(\Delta I\),则电流密度为
\[\vec{J}=\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n}
\]
\[I=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S}
\]
欧姆定律的微分形式(传导电流)
线性各向同性的导体的电导率为 \(\sigma\),则电流密度为
\[\vec{J}=\sigma\vec{E}
\]
焦耳定律的微分形式(传导电流)
导体内的热功率密度为
\[p=\vec{J}\cdot\vec{E}
\]
恒定电流场的基本方程
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{J}&=0\\
\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0}\\
\oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0
\end{split}
\]
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{E}&=0\\
\nabla^2\varphi&=0
\end{split}
\]
恒定电流场的边界条件
- 分界面两侧的电导率分别为 \(\sigma_1\) 和 \(\sigma_2\),分界面的法向量为 \(\vec{n}\),分界面上的自由电荷密度为 \(\rho_s\),则边界条件为
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{J}_2-\vec{J}_1)&=0~~~or~~~ J_{1n}=J_{2n}\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}\\
\end{split}
\]
\[\begin{split}
\varphi_1&=\varphi_2\\
\sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}&=\sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}
\end{split}
\]
- 介质 \(\sigma_1\) 和介质 \(\sigma_2\) 中电流线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\),关系为
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}
\]
- 导体内部的电荷为零,电荷只能分布在表面上(\(J_{1n}=J_{2n}=J_n\)):
\[\rho_s=D_{2n}-D_{1n}=\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}J_{2n}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}J_{1n}=J_n(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1})
\]
磁感应强度
\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}
\]
\[\vec{B}=\nabla\times\vec{A}
\]
恒定磁场的基本方程
\[\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{B}=0 \\
\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} \\
\oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I
\end{cases}
\]
磁偶极子
一个载流回路的面积为 \(\vec{S}\),电流为 \(I\),则磁偶极矩为
\[\vec{m}=I\vec{S}
\]
\[\vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}
\]
\[\vec{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(\vec{e}_r2\cos\theta+\vec{e}_\theta\sin\theta)
\]
磁介质的磁化强度
- 体积为 \(\Delta V\) 的磁介质中,总的磁偶极矩为 \(\sum\vec{m}\),则磁化强度为
\[\vec{M}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum\vec{m}}{\Delta V}
\]
\[\begin{split}
&\vec{J}_m=\nabla\times\vec{M} \\
&\vec{J}_{mS}=\vec{M}\cdot\vec{n}
\end{split}
\]
磁场强度
\[\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}
\]
磁导率
若介质是线性各向同性(均匀介质),介质的相对磁导率为 \(\mu_r\),介质的磁导率为 \(\mu\),极化率为 \(\chi_m\)。
\[\vec{M}=\chi_m\vec{H}
\]
\[\begin{split}
\vec{B}&=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})\\
&=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}\\
&=\mu_0\mu_r\vec{H}\\
&=\mu\vec{H}
\end{split}
\]
磁介质中恒定磁场的基本方程
\[\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{B}=0\\
\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}\\
\oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S}
\end{cases}
\]
恒定磁场的边界条件
- 分界面两侧的磁导率分别为 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\),分界面的法向量为 \(\vec{n}\),分界面上的电流密度为 \(\vec{J}_S\),则边界条件为
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~&or~~~B_{2n}=B_{1n}\\
\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J}_S~~~&or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S
\end{split}
\]
- 介质 \(\mu_1\) 和介质 \(\mu_2\) 中磁力线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\),关系为
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}
\]
磁场能量密度和磁场能量
\[\omega_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}
\]
\[W_m=\frac{1}{2}\int_V\vec{B}\cdot\vec{H} dV
\]
时变电磁场
麦克斯韦方程组
\[\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}
\]
\[\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
\]
\[\nabla\cdot\vec{B}=0
\]
\[\nabla\cdot\vec{D}=\rho
\]
\[\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
时变电磁场的边界条件
一般情况,
\[\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_S~~~or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_S
\]
若分界面没有自由面电荷,则分界面两侧的电位移矢量的法向分量连续,电场强度的法向分量不连续。
\[\begin{split}
D_{1n}&=D_{2n} \\
\varepsilon_1E_{1n}&=\varepsilon_2E_{2n}
\end{split}
\]
\[\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~or~~~B_{1n}=B_{2n}
\]
分界面两侧的磁感应强度的法向分量连续,磁场强度的法向分量不连续。
\[\mu_1H_{1n}=\mu_2H_{2n}
\]
\[\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J_S}~~~or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S
\]
若分界面没有自由面电流,则分界面两侧的磁场强度的切向分量连续,磁感应强度的切向分量不连续。
\[\begin{split}
H_{1t}&=H_{2t}\\
\frac{B_{1t}}{\mu_1}&=\frac{B_{2t}}{\mu_2}
\end{split}
\]
\[\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}
\]
分界面两侧的电场强度的切向分量连续,电位移矢量的切向分量不连续。
\[\frac{D_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac{D_{2t}}{\varepsilon_2}
\]
\[\nabla_t\cdot\vec{J}_S+(J_{1n}-J_{2n})=-\frac{\partial\rho_S}{\partial t}
\]
\(\nabla_t\) 表示对与分界面平行的坐标量求微分(存疑)
理想介质(\(\sigma=0\))
在两种理想介质的分界面上,没有自由面电流和自由面电荷,即 \(\vec{J}=\vec{0}\),\(\rho_S=0\)。边界条件为:
\[\begin{split}
\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)&=\vec{0}\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}\\
\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)&=0\\
\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)&=0
\end{split}
\]
理想导体(\(\sigma=\infty\))
理想导体内部不存在电场和磁场。电力线垂直于理想导体表面,磁力线平行于理想导体表面。边界条件为:
\[\begin{split}
\vec{n}\times\vec{H}&=\vec{J}_S\\
\vec{n}\times\vec{E}&=\vec{0}\\
\vec{n}\cdot\vec{B}&=0\\
\vec{n}\cdot\vec{D}&=\rho_S
\end{split}
\]
坡印廷定理
\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
\]
\[-\oint_S\vec{S}\cdot d\vec{S}=\frac{\partial}{\partial t}\int_V(\omega_e+\omega_m)dV+\int_V\vec{J}\cdot\vec{E}~dV
\]
右式第一项表示体积 \(V\) 中电磁能量随时间的增加率,第二项表示体积 \(V\) 中热损耗功率。
正弦电磁场
\[\dot{E}_{xm}=E_{xm}e^{j\phi_x}
\]
\[\vec{\dot{E}}=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm}
\]
- \(\leftrightarrow\): 瞬时值与复振幅矢量的对应关系。复振幅矢量乘以 \(e^{j\omega t}\),并取实部,得到瞬时值。
\[\begin{split}
E_x(x,y,z,t) &\leftrightarrow \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\
\frac{\partial E_x(x,y,z,t)}{\partial t} &\leftrightarrow j\omega \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\
\vec{E}(x,y,z,t) \leftrightarrow \vec{\dot{E}}(x,y,z)&=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm}
\end{split}
\]
麦克斯韦方程组的复数形式
\[\nabla\times\vec{\dot{H}}=\vec{\dot{J}}+j\omega \vec{\dot{D}}
\]
\[\nabla\times\vec{\dot{E}}=-j\omega \vec{\dot{B}}
\]
\[\nabla\cdot\vec{\dot{B}}=0
\]
\[\nabla\cdot\vec{\dot{D}}=\dot{\rho}
\]
\[\nabla\cdot\vec{\dot{J}}=-j\omega \dot{\rho}
\]
约定:剩余表示复量的 \(\cdot\)
复坡印廷矢量
复坡印廷矢量与时间无关,所以取实部不需要乘 \(e^{j\omega t}\)。
\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
\]
\[\vec{S}_{av}=\text{Re}[\frac{1}{2}\vec{E}\times\vec{H}^*]
\]
注:电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功率。
复介电常数和复磁导率
\[\varepsilon_c=\varepsilon'(\omega)-j\varepsilon''(\omega)~~~~\mu_c=\mu'(\omega)-j\mu''(\omega)
\]
\[\tan\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}~~~~\tan\delta_\mu=\frac{\mu''}{\mu'}
\]