欧拉函数
一、欧拉函数
定义
\([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数，称为欧拉函数，记为 \(\varphi(n)\)。
- 互质的定义：对于正整数 \(a\) 和 \(b\)，若 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(a\) 和 \(b\) 互质。
性质
- 若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi(p)=p-1\)。
证：因为 \(p\) 是质数，所以因数只有 \(1\) 和 \(p\)。对于 \([2,p-1]\)，与 \(p\) 的公因数只能是 \(1\)；对于 \(1\)，\(gcd(1,p)=1\)；显然，\(gcd(p,p)=p\)。所以，\(\varphi(p)=p-1\)。 - 若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)。
证：对于 \([1,p^k]\) 构成的数列，相当于以 \(p\) 个数作为一个单元：\(1...p...2p...3p......p^k\)，一共有 \(\frac{p^k}{p}=p^{k-1}\) 个这样的单元。每个单元中，除了类似 \(p,2p,3p,...,p^k\) 这样的数，其它数都与 \(p^k\) 互质。所以，\(\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)。 - 欧拉函数是积性函数，即满足 若 \(gcd(m,n)=1\)，则 \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)。
计算公式
由唯一分解定理：对于任意大于 \(1\) 的自然数 \(n\)，可以分解为一系列质数之积，即 \(n=\prod_{i=1}^S{p_i^{a_i}},~~~~p_i为质数,~a_i为p_i的个数\)。
\[\varphi(n)=\begin{cases}
1&,n==1\\
n\times \prod_{i=1}^S{\frac{p_i-1}{p_i}}&,n\ge2
\end{cases}
\]
注：仅由 \(n\) 和质因数 \(p_i\) 决定，与质因数个数 \(a_i\) 无关。
证：
\[\begin{split}
\varphi(n)&=\varphi(\prod_{i=1}^S{p_i^{a_i}})\\
&=\prod_{i=1}^S{\varphi(p_i^{a_i})}~~~~由性质3\\
&=\prod_{i=1}^S{(p_i-1)p_i^{a_i-1}}~~~~由性质2\\
&=\prod_{i=1}^S{p_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})}\\
&=\prod_{i=1}^S{p_i^{a_i}}\times \prod_{i=1}^S{(1-\frac{1}{p_i})}\\
&=n\times \prod_{i=1}^S{\frac{p_i-1}{p_i}}~~~~由唯一分解定理
\end{split}
\]
二、求解算法
试除法
找到 \(n\) 的所有质因子，与 \(n\) 一起累乘即为所求。
int phi(int n)
{
int res = n;
for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
{
if (n % i == 0) // i是n的质因子
{
res = res * (i - 1) / i;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) res = res * (n - 1) / n;
return res;
}
筛法
该算法可以求出 \([1,n]\) 内所有数的欧拉函数。
算法简析
该算法基于线性筛。
对于质数，若 \(i\) 是质数，则 \(phi[i]=i-1\)。
对于合数，在筛数时求欧拉函数。设当前枚举到 \(i\)，遍历已知的质数 \(p_j\) 来筛数。令 \(m=i\times p_j\)，则 \(phi[m]\) 为
- 若 \(p_j\) 整除 \(i\)，则 \(\varphi(m)=p_j\times\varphi(i)\)。
证：因为 \(p_j\) 整除 \(i\)，所以 \(i\) 包含 \(p_j\) 的所有质因子。又因为 \(m=i\times p_j\)，所以 \(i\) 与 \(m\) 的质因子相同。
\[\begin{split}
\varphi(m)&=m\times\prod_{k=1}^S{\frac{p_k-1}{p_k}}~~~~计算公式\\
&=p_j\times i\times\prod_{k=1}^S{\frac{p_k-1}{p_k}}\\
&=p_j\times\varphi(i)
\end{split}
\]
- 若 \(p_j\) 不能整除 \(i\)，则 \(\varphi(m)=(p_j-1)\times\varphi(i)\)。
证：因为 \(p_j\) 不能整除 \(i\)，则 \(i\) 与 \(p_j\) 互质。由性质1和2，则 \(\varphi(m)=\varphi(i\times p_j)=\varphi(p_j)\times\varphi(i)=(p_j-1)\times\varphi(i)\)。
Code
const int MAX = 1e8 + 5;
bool vis[MAX]; // vis[i] -- i是否筛去
int p[MAX], cnt; // p[] -- 存储质数; cnt -- 统计质数个数
int phi[MAX]; // phi[i] -- i的欧拉函数
void get_phi(int n)
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!vis[i])
{
p[cnt++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; i * p[j] <= n; ++j)
{
int m = i * p[j];
vis[m] = true;
if (i % p[j] == 0)
{
phi[m] = p[j] * phi[i];
break;
}
else
phi[m] = (p[j] - 1) * phi[i];
}
}
}
完
