导行电磁波

对于导波装置中的电磁场，采用广义坐标系 \((u_1,u_2,z)\)（\(u_1\) 和 \(u_2\) 为导波装置横截面上的坐标，\(z\) 为纵向坐标），场强可分为纵向分量 \(E_z(u_1,u_2,z),~H_z(u_1,u_2,z)\) 和横向分量 \(E_t(u_1,u_2,z),~H_t(u_1,u_2,z)\)。只需要先求出纵向分量，再通过关系式，就可以求出所有场分量。

导行电磁波的亥姆霍兹方程式:

\[\begin{split} &\nabla_t^2\vec{E_t}+k_c^2\vec{E_t}=\vec{0},~\nabla_t^2\vec{H_t}+k_c^2\vec{H_t}=\vec{0}\\ &\nabla_t^2E_z+k_cE_z=0,~\nabla_t^2H_z+k_cH_z=0 \end{split} \]

导行波的表达式

传输常数

\[\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{k_c^2-k^2} \]

\(k\) 为电磁波在无限媒质中的波数。\(k=\omega\sqrt{\mu \varepsilon}\)，为实数。
\(k_c\) 为截止波数。由导波系统横截面的边界条件决定，也是实数。

因此，\(\gamma\) 随工作频率变化。

• \(z\) 方向的传播常数 \(k_z\)：若 \(\gamma\) 为纯虚数，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)，电磁波才能在波导中传播。

\[k_z=\sqrt{k^2-k_c^2} \]

电场强度的纵向分量表达式

\[\vec{E_t}=\vec{E_t}(u_1,u_2)e^{-\gamma z}e^{j\omega t} \]

根据 \(\gamma^2\) 不同值，可以分为三种状态：

• 传输状态：\(\gamma^2<0\)，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。此时波沿 \(+z\) 轴方向无衰减传输。

\[\vec{E_t}=\vec{E_t}(u_1,u_2)e^{-j\beta z}e^{j\omega t} \]

• 截止状态：\(\gamma^2>0\)，即 \(\gamma=\alpha\)。此时波沿 \(+z\) 轴方向以指数规律衰减。

\[\vec{E_t}=\vec{E_t}(u_1,u_2)e^{-\alpha z}e^{j\omega t} \]

• 临界状态：\(\gamma=0\)。该状态是电磁波能否在导波系统中传播的临界状态。

\(\vec{H_t}\) 可由 \(\vec{E_t}\) 和波阻抗求得。

导行波的分类

• 横电磁波(\(TEM\)波)：\(E_z=H_z=0\)，必有 \(k_c=0\)，则 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。\(TEM\)波总是满足传输状态。
• 横电波(\(TE\)波) 或 磁波(\(H\)波)：\(E_z=0,H_z\neq0\)。所有磁场分量可由 \(H_z\) 求得。
• 横磁波(\(TM\)波) 或 电波(\(E\)波)：\(H_z=0,E_z\neq0\)。所有磁场分量可由 \(E_z\) 求得。

导行波的传输特性

1、截止波长与传输条件

截止频率与截止波长

截止状态时，\(k_c=k=\omega\sqrt{\mu \varepsilon}\)。由 \(k_c\) 决定的频率(\(f_c\))和波长(\(\lambda_c\))就是截止频率和截止波长。

\[f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu \varepsilon}},~~~~\lambda_c=\frac{v}{f_c}=\frac{2\pi}{k_c} \]

\(v\) 为电磁波在无限介质中的相速度。\(v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\)。
\(k_c\) 为截止波数，与截止波长的关系为 \(k_c\lambda_c=2\pi\)。

截止条件

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：

\[f<f_c~~~~or~~~~\lambda>\lambda_c \]

• 对于\(TEM\)波：
  由于 \(k_c=0\)，则 \(f_c=0,~\lambda_c=\infty\)。任意频率的\(TEM\)波都在传输状态，即不存在截止条件。

2、波导波长

理想波导装置中的相波长称为波导波长，记 \(\lambda_g\)。波导波长必须在传输状态下求，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。满足关系式 \(k_z\lambda_g=2\pi\)。

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：

\[\lambda_g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}} \]

\(\lambda\) 和 \(\lambda_c\) 满足 \(k\lambda=2\pi\) 和 \(k_c\lambda_c=2\pi\)。

• 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=0\)，则

\[\lambda_g=\lambda_p=\lambda=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \]

3、相速、群速和色散

相速

满足公式 \(k_zv_p=\omega\)

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：

\[v_p=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}} \]

• 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=\infty\)，则

\[v_p=v=\frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \]

相速与波导波长满足：\(\lambda_gf=v_p\)。

注：\(TE\)波和\(TM\)波的相速大于（介质中的）光速，但相速描述的是波的等相位面移动的速度，不是能量传播的速度，所以不违背相对论。

群速

群速就是能量的传播速度。

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：

\[v_g=v\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2} \]

• 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=\infty\)，则

\[v_g=v_p=v \]

注：\(v_g<v\) 且 \(v_g\cdot v_p=v^2\)。

色散

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
  \(TE\)波和\(TM\)波的相速和群速都随频率而变化，称此现象为色散。这两种波就是色散波。
• 对于\(TEM\)波：
  \(TEM\)波的相速和群速相等，且与频率无关，为非色散波。

4、波阻抗

• 对于\(TE\)波和\(TM\)波：

\[\begin{split} Z_{TE}&=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\frac{k}{\beta}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}\\ Z_{TM}&=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\frac{\beta}{k}=\eta \sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2} \end{split} \]

• 对于\(TEM\)波：

\[Z_{TEM}=\eta=120\pi\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} \]

5、传输功率

波导沿无耗规则导行系统\(+z\)方向传输的平均功率为

\[P_0=\frac{1}{2}\text{Re}[\int_S(\vec{E_t}\times\vec{H_t^*})\cdot \vec{e_z}dS] \]

矩形波导

在金属波导中不能传输\(TEM\)波，因为它不能满足金属波导的边界条件。

采用直角坐标系，令 \(u_1\) 对应 \(x\) 轴，\(u_2\) 对应 \(y\) 轴，电磁波沿 \(+z\) 方向传播。矩形波导的横截面，在 \(x\) 轴上边长为 \(a\)，在 \(y\) 轴上的边长为 \(b\)。

矩形波导中的\(TM\)波

电场强度的纵向分量表达式

\[E_z=E_0\sin{k_xx}\sin{k_yy}e^{-jk_zz}e^{j\omega t} \]

• 一些波数：

\[\begin{split} k_x&=\frac{m\pi}{a},~~~~m=1,2,3,...\\ k_y&=\frac{n\pi}{b},~~~~n=1,2,3,...\\ k_c^2&=k_x^2+k_y^2=(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2 \end{split} \]

注：取不同的 \(m\) 和 \(n\)，代表不同的\(TM\)波场结构模式，记 \(TM_{mn}\)。需要注意，\(m\) 和 \(n\) 不能取 \(0\)。

传输特性

1、传输常数

\[\gamma=\sqrt{k_c^2-k^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\mu\varepsilon} \]

• \(z\) 方向的传输常数：

\[k_z=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{\omega^2\mu\varepsilon-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2} \]

2、截止频率和截止波长

• 截止频率

\[f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2} \]

注：矩形波导呈现高通滤波器的特性，只要工作频率高于截止频率时，电磁波才能在波导中传输。

• 截止波长

\[\lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=\frac{2\pi}{\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}} \]

3、波导波长

\[\lambda_g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} \]

4、相速

\[v_p=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} \]

矩形波导中的\(TE\)波

磁场强度的纵向分量表达式

\[H_z=H_0\cos{k_xx}\cos{k_yy}e^{-jk_zz}e^{j\omega t} \]

\(k_x,k_y,k_z,k_c,f_c,\lambda_c,v_p,\lambda_g\) 的计算公式与\(TM\)波完全相同。

与\(TM\)波一样，\(TE\)波用\(TE_{mn}\)表示不同模式的波。对于\(TE\)波，\(m\) 和 \(n\) 可以取 \(0\)，但不能同时为 \(0\)。因此，存在 \(TE_{m0}\) 和 \(TE_{0n}\)。

矩形波导的主模

通常把具有最低截止频率的模式称为主模。一般情况下，\(a>b\)，所以\(TE_{10}\)是截止频率最低的模式。\(TE_{10}\)波是矩形波导中的主模。

简并模

具有相同截止波长的模称为简并模，即具有相同 \(m\)、\(n\) 的\(TE_{mn}\)和\(TM_{mn}\)是一对简并模。

由于\(TM_{mn}\)不能取 \(0\)，因此，\(TE_{m0}\)和\(TE_{0n}\)为非简并模。

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完