波动数列

合集 - 蓝桥杯(26)

1.试题 C ：直线2024-02-202.树形动态规划2024-02-253.X 进制减法2024-02-264.后缀表达式2024-02-265.统计子矩阵2024-02-296.包子凑数2024-03-017.整数拼接2024-03-028.地宫取宝2024-03-039.七段码2024-03-0410.砝码称重2024-03-0511.递增三元组2024-03-0712.完全平方数2024-03-0913.[蓝桥杯 2019 省 A] 填空问题 E2024-03-13

14.波动数列2024-03-16

15.左孩子右兄弟2024-03-1716.接龙数列2024-03-2317.糖果2024-03-2618.蚂蚁感冒2024-03-2819.子串分值2024-03-3020.超级胶水2024-03-3021.P9425 [蓝桥杯 2023 国 B] AB 路线2024-05-1222.P9426 [蓝桥杯 2023 国 B] 抓娃娃2024-05-1223.P9425 [蓝桥杯 2022 国 B] 20222024-05-1324.P8805 [蓝桥杯 2022 国 B] 机房2024-05-1525.P8806 [蓝桥杯 2022 国 B] 搬砖2024-05-1626.P8764 [蓝桥杯 2021 国 BC] 二进制问题2024-05-19

收起

一、题目描述

P8614 [蓝桥杯 2014 省 A] 波动数列

二、问题简析

设第一个数为 \(x_0\)，\(d_i=a~or~-b\)，则长度为 \(n\) 的数列的和为：

\[\begin{split} s&=x_0+x_1+x_2+...+x_{n-1}\\ &=(x_0 + 0) + (x_0+d_1) + (x_0+d_1+d_2)+...+(x_0+d_1+...+d_{n-1})\\ &=n*x_0+0+(n-1)*d_1+(n-2)*d_2+...+d_{n-1} \end{split} \]

令 \(z_{i}=0+(n-1)*d_1+(n-2)*d_2+...+(n-i)*d_i\)，则 \(s=n*x_0+z_{n-1}\)。

\[\begin{split} &\because s = n * x_0 + z_{n-1} \\ &\therefore x_0=\frac{s-z_{n-1}}{n} \in \mathbb{Z} \\ &\therefore s-z_{n-1} \equiv 0~(\text{mod}~n) \\ &即 s \equiv z_{n-1}~(\text{mod}~n) \end{split} \]

设 \(dp[i][j]=\) 使 \(j\equiv z_i(\text{mod}~n)\) 的方案数，则

\[\begin{split} z_i&=z_{i-1}+(n-i)*d_i\\ z_{i-1}&=z_i-(n-i)*d_i\\ z_{i-1} &\equiv z_i-(n-i)*d_i~(\text{mod}~n) \end{split} \]

\(d_i\) 可能的值为 \(a\) 或 \(-b\)，

\[z_{i-1}\equiv \begin{cases} z_i-(n-i)*a\\ z_i+(n-i)*b \end{cases} ~(\text{mod}~n) \]

至此，我们可以写出递归方程

\[\begin{split} dp[i][j~(\text{mod}~n)] &= dp[i][z_i~(\text{mod}~n)] \\ &=dp[i-1][z_{i-1}~(\text{mod}~n)]~//~包含两种情况\\ &=dp[i-1][z_i-(n-i)*a~(\text{mod}~n)]+dp[i-1][z_i+(n-i)*b~(\text{mod}~n)] \end{split} \]

注：

• 1、取模运算可能会产生负数，而数组肯定不能通过负数访问，所以要转化成正数：(x % n + n) % n。
• 2、dp[0][0]=1：因为 \(z_0=0\)，算一种情况。

---

三、AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

const int MOD = 1e8 + 7;
ll n, s, a, b, dp[1003][1003];

int get_mod(ll x)
{
	return (x % n + n) % n; 
} 

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	cin >> n >> s >> a >> b;
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			dp[i][j] = (dp[i - 1][get_mod(j - (n - i) * a)] + dp[i - 1][get_mod(j + (n - i) * b)]) % MOD;
		}
	}
	
	cout << dp[n - 1][get_mod(s)] << endl;
	
	return 0;
}

---

完