拓展欧几里得算法

合集 - 数学问题(15)

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一、拓展欧几里得算法

1.1 算法简析

根据裴蜀定理，对任意 \(a\) 和 \(b\)，一定存在 \(x\) 和 \(y\)，使 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)。拓展欧几里得算法不仅能求出 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，而且能找到一对 \((x, y)\) 使该方程成立。

设求解 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\) 的函数为

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)

该函数返回 \(\text{gcd}(a, b)\)，即 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数。同时，引用的 \(x\) 和 \(y\) 就是方程的一对解。

假设 \(b \neq 0\)，
\(\text{extgcd(a, b, x, y)}\) 表示的方程为 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)
\(\text{extgcd(b, a \% b, x', y')}\) 表示的方程为 \(bx' + (a~\%~b)y' = \text{gcd}(b, a~\%~b)\)

我们知道 \(a~\%~b\) 是取余运算，可以转换成 \(a~\%~b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)，代入方程得到 \(bx' + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y' = \text{gcd}(b, a~\%~b)\)，整理得到 \(ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y') = \text{gcd}(b, a~\%~b)\)

\[\begin{split} &\because b \neq 0 \\ &\therefore \text{gcd}(a, b) == \text{gcd}(b, a~\%~b) \\ &\therefore 两个方程的左式是相等的 \\ \\ &ax + by = ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y') \\ &\therefore x=y',~y=x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y' \end{split} \]

假设 \(b == 0\)，
\(\text{extgcd(a, b, x, y)}\) 表示的方程为 \(ax = \text{gcd}(a, 0) = a\)，可以得到特解 \(x=1,~y=0\)。

因此，我们可以采用递归的方式定义函数。

1.2 模板

ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	
	ll ret = extgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
	
	return ret;
}

1.3 通解

\(\text{extgcd(a, b, x, y)}\) 可以得到 \((x_0, y_0)\) 这一个特解，通解为

\[x=x_0+k\frac{b}{\text{gcd}(a,b)},~y=y_0-k\frac{a}{\text{gcd}(a,b)} \]

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二、相关题目

2.1 题目描述

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

2.2 问题简析

题目要求 \(ax \equiv 1~(\text{mod}~b)\) 的最小正整数解。因为拓展欧几里得算法求解方程的格式为 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)，所以要对原式进行转化。

\[\begin{split} &\because by \equiv 0~(\text{mod}~b)\\ &\therefore ax+by \equiv 1~(\text{mod}~b) \\ \\ &令~ax+by=1\\ 由裴蜀定理&，若该方程有解，则~\text{gcd}(a, b) = 1\\ \\ \therefore~求~ax+by&=\text{gcd}(a, b)~成立的最小正整数~x \end{split} \]

至此，我们可以直接套用上文的模板求解。需要注意的是，本题要求的是 \(x\) 的最小正整数解，所以求出 \(x_0\) 后要进行处理：

x = (x % b + b) % b;

2.3 AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll a, b, x, y;

ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	
	ll ret = extgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
	
	return ret;
}

int main()
{
	cin >> a >> b;
	extgcd(a, b, x, y);
	cout << (x % b + b) % b << endl;
	
	return 0;	
}

---

完