前缀和算法

一、简析前缀和

有一系列元素 \(A[a_0,~a_1,~...,~a_n,~...]\)，前缀和 \(pre\_sum[n]=A[0]+A[1]+···+A[n]\)。
利用前缀和，我们可以很高效地得到 \([L,~R]\) 的区间和 \(\sum_{i=L}^{R}A[i]=pre\_sum[R]-pre\_sum[L-1]\)。

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二、相关问题

2.1 题目简述

P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

2.2 算法简析

设 \(p[n] = A[0]+A[1]+···+A[n]\)，则 [L, R] 的区间和为 \(p[R]-p[L-1]\)。题目要求区间和为 \(K\) 的倍数，则 \((p[R]-p[L-1])~|~K\)，即 \((p[R]-p[L-1])\equiv 0~(\text{mod}~K)\)。由模运算率，\(p[R]\equiv p[L-1]~(\text{mod}~K)\)。满足该条件，就是满足"K倍区间"。
我们可以统计，在模 \(K\) 的条件下，前缀和同余的个数。例，\(cnt[j]\) 表示前缀和模 \(K\) 的余数为 \(j\) 的个数，则满足"K倍区间"的个数为 \(C_{cnt[j]}^2\)。
需要注意的是，余数为 \(0\) 是一个特殊情况。因为题目允许区间只有一个元素，所以单独一个元素也是满足要求的（说明该元素是 \(K\) 的倍数）。假设余数为 \(0\) 的个数为 \(x\)，则满足题目要求的个数为

\[\begin{split} C_x^2+x&=\frac{x(x-1)}{2}+x \\ &=\frac{(x+1)x}{2} \\ &=C_{x+1}^2 \end{split} \]

所以统计余数为 \(0\) 的情况时，要初始化为 \(1\)。

2.3 本题代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e5 + 5;

ll N, K, A[MAX], cnt[MAX];

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	N = quickin(), K = quickin();
	int tmp = 0;
	cnt[0] = 1;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		A[i] = quickin();
		tmp = (tmp + A[i]) % K;
		cnt[tmp]++;
	}
	
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i < K; i++)
	{
		if (cnt[i] > 0)
			ans += cnt[i] * (cnt[i] - 1) / 2;
	}
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;	
} 

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完