试题 C ：直线

合集 - 数学问题(15)

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一、题目描述

P8741 [蓝桥杯 2021 省 B] 试题 C ：直线

二、算法简析

设两点 \(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\)。

• 斜率为：

\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

• 斜截式为：

\[\begin{split} y - y_1 &= k(x - x_1) \\ y - y_1 &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \end{split} \]

• 化解为一般式 \(Ax+By=C\)：

\[\begin{split} y - y_1 &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\\ (y - y_1)(x_2 - x_1)&=(y_2 - y_1)(x - x_1) \\ (x_2 - x_1)y - y_1x_2 + y_1x_1 &= (y_2 - y_1)x - y_2x_1 + y_1x_1 \\ (y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y &= x_1y_2 - x_2y_1 \\ \end{split} \]

\[\begin{split} \therefore A &= (y_2 - y_1) \\ B &= x_1 - x_2 \\ C &= x_1y_2 - x_2y_1 \\ \end{split} \]

• 将 \(A, B, C\) 分别除以三者的最大公约数，得到最简形式。

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三、本题代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
typedef pair<P, int> line;

vector<P> d;
set<line> S;

int gcd(int a, int b)
{
	if (b == 0)
		return a;
	return gcd(b, a % b);
}

void init(void)
{
	for (int i = 0; i < 20; i++)
		for (int j = 0; j < 21; j++)
			d.push_back(P(i, j));
}

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < d.size(); i++)
	{
		for (int j = i + 1; j < d.size(); j++)
		{
			int x1 = d[i].first, x2 = d[j].first;
			int y1 = d[i].second, y2 = d[j].second;
			
			int A, B, C;
			A = y2 - y1;
			B = x1 - x2;
			C = x1 * y2 - x2 * y1;
			int tmp = gcd(gcd(A, B), C);
			S.insert(line(P(A / tmp, B / tmp), C / tmp));
		}
	}
}

int main()
{
	init();
	solve();
	cout << S.size() << endl;
	
	return 0;
}

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完