组合数

合集 - 数学问题(15)

1.有关素数的算法2024-02-122.最大公约数和最小公倍数2024-02-093.取模运算2024-02-124.快速幂2024-02-15

5.组合数2024-02-16

6.试题 C ：直线2024-02-207.包子凑数2024-03-018.高精度运算2024-02-059.完全平方数2024-03-0910.拓展欧几里得算法2024-03-1311.[蓝桥杯 2019 省 A] 填空问题 E2024-03-1312.线性筛2024-05-2113.欧拉函数2024-05-2114.拓展欧拉定理2024-05-2115.bsgs算法2024-05-21

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一、预处理组合数

核心：

\[C_a^b = C_{a-1}^b + C_{a-1}^{b-1} \]

适用范围：\(a\) 较小的情况下，如 \(a \leq 10^3\)。
算法简析：令 \(\text{C[n][k]}=C_n^k\)，规定 \(\text{C[0][0] = 1}\)，则

\[\begin{split} \text{C[n][k]}=\begin{cases} 1&,k==0\\ \text{C[n - 1][k] + C[n - 1][k - 1]}&,0<k\leq n~and~n\geq1 \end{cases} \end{split} \]

#define MAX 4000
#define MOD 6662333

int C[MAX][MAX], n;

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			if (j == 0)    C[i][j] = 1;
			else
				C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD; 
}

预处理后，直接访问 \(\text{C[n][k]}\)，就能得到 \(C_n^k\) 的值。

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二、预处理阶乘

核心：

\[C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}=a!\ast (b!)^{-1}\ast ((a-b)!)^{-1} \]

适用范围：\(a\) 较大的情况下，如 \(a\leq 10^{5}\)。
算法简析：
先来看逆元和费马小定理的定义：

• 1、逆元：对于模 \(m\)，有两个数 \(a\) 和 \(b\)，若 \(ab\equiv1(\text{mod}~m)\)，即 \(a\) 和 \(b\) 的乘积除以 \(m\) 的余数为1，则 \(a\) 和 \(b\) 互为模 \(m\) 意义下的乘法逆元。记 \(b=a^{-1},~a=b^{-1}\)。
• 2、费马小定理：若 \(p\) 是一个素数，且 \(a\) 不被 \(p\) 整除，则 \(a^{p-1}\equiv1(\text{mod}~p)\)，即 \(a^{p-1}\) 除以 \(p\) 的余数为1。
  由模运算的性质，\(\equiv\) 两边同乘 \(a\) 的逆元 \(a^{-1}\)，得 \(a^{p-2}\equiv a^{-1}(\text{mod}~p)\)。在模 \(p\) 的意义下，\(a^{p-2}\) 和 \(a^{-1}\) 等价。求 \(a^{-1}\)，就转换为求 \(a^{p-2}\)。

现在，我们的重点是求阶乘和阶乘的逆元。我们用两个数组 fact[] 和 infact[] 分别表示阶乘(fact[a] 为 \(a!\))和阶乘的逆元(infact[a] 表示 \((a!)^{-1}\))。规定 \(\text{fact[0] = infact[0] = 1}\)。

• 1、阶乘：由

\[a!=(a-1)!\ast a \]

得，

\[\text{fact[a] = fact[a - 1] * a} \]

• 2、阶乘的逆元：由费马小定理，在模 \(p\) 下，

\[\begin{split} (a)^{p-2}&\equiv (a)^{-1}(\text{mod}~p) \\ (a!)^{-1}&=((a-1)!)^{-1}\ast a^{-1} \end{split} \]

得，

\[\begin{split} \text{infact[a]}&=\text{infact[a - 1]} \ast a^{-1} \\ a^{-1}&=\text{pow(a, p - 2) mod p} \end{split} \]

注：计算逆元时，可以通过快速幂来提高算法效率。

#define MAX 4000
#define MOD 6662333

int fact[MAX], infact[MAX], n;

typedef long long ll;

int qum(int x, int n, int mod)
{
	ll ret = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)    ret = ret * x % MOD;
		x = (ll)x * x % MOD;
		n >>= 1;
	}
	return ret;	
} 

void solve(void)
{
	fact[0] = infact[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % MOD;
		infact[i] = (ll)infact[i - 1] * qum(i, MOD - 2, MOD) % MOD;
	}
}

预处理后，\(C_n^k=\text{fact[n] * infact[k] * infact[n - k]}\)。注意：计算过程中可能会溢出，要进行模运算。

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三、卢卡斯定理

核心：卢卡斯定理

\[C_a^b\equiv C_{a~\text{mod}~p}^{b~\text{mod}~p}~·~C_{\lfloor a/p \rfloor}^{\lfloor b/p \rfloor}(\text{mod}~p) \]

适用范围：\(a\) 很大的情况，比如 \(a \leq 10^{18}\)。
算法简析：若 \(a\) 和 \(b\) 很大，我们可以通过卢卡斯定理缩小 \(a\) 和 \(b\)，直至 \(a,~b< p\) (\(p\) 一般是较小的素数)。这时，在使用前两种方法求解。

#define MOD 6662333

int fact[MOD + 3], n;

typedef long long ll;

int qum(int x, int n, int mod)
{
	ll ret = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)    ret = ret * x % MOD;
		x = (ll)x * x % MOD;
		n >>= 1;
	}
	return ret;	
} 

void init(void)
{
	fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i < MOD; i++)
	{
		fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % MOD;
	}
}

int C(int a, int b, int mod)
{
	if (a < b)    return 0;
	return (ll)fact[a] * qum(fact[b], mod - 2, mod) % mod * qum(fact[a - b], mod - 2, mod) % mod;
}

int lucas(int a, int b, int mod)
{
	if (a < mod && b < mod)    return C(a, b, mod);
	return (ll)C(a % mod, b % mod, mod) * lucas(a / mod, b / mod, mod) % mod;
}

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四、组合数的一些性质

• \(\sum_i{C_n^i}=2^{n-1},~~~~i~是偶数或奇数\)

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完