取模运算

合集 - 数学问题(15)

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一、模运算的定义

对于 \(\forall~a\in \mathbb{R},~m \in (0, +\infty)\)，求 \(a\) 除以 \(m\) 的余数的运算，就是取模运算，记作 \(a~mod~m\)。
规定 \(0 \leq a~mod~m \leq m - 1\)。若 \(a\) 为负数，则 \(a~\%~m\) 可能小于 \(0\)。此时，对结果进行 \(a~\%~m+m\)，使取模运算满足规定。
若 \(a\) 和 \(b\) 对 \(m\) 取模后结果相同，则说明 \(a\) 和 \(b\) 同余，记作 \(a \equiv b~(mod~m)\)。

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二、模运算的性质

• 加法
  \((a + b)~mod~m = (a~mod~m + b~mod~m)~mod~m\)
• 减法
  \((a - b)~mod~m = (a~mod~m - b~mod~m)~mod~m\)
• 乘法
  \((a \ast b)~mod~m = (a~mod~m \ast b~mod~m)~mod~m\)

---

完