题目描述

有 \(n\) 个重量和价值分别为 \(w_i\)，\(v_i\) 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 \(W\) 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。
数据范围：
\(1\le n\le100\)
\(1\le w_i,v_i\le100\)
\(1\le W\le10000\)

解析

令 \(dp[i][j]=\) 从前 \(i\) 种物品中挑选总重不超过 \(j\) 的最大价值。
显然，完全背包问题与01背包问题的唯一区别：完全背包问题中的物品个数不是唯一的。我们先来看01背包的递推式：

\[\begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&=\begin{cases} dp[i][j]&,j<w_i \\ max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}&,j\ge w_i \end{cases} \end{split} \]

从 \(dp[i][j-w_i]+v_i\) 可以发现，因为01背包中的物品只有一个，所以最多只能拿一个。
对于完全背包来说，物品不止一个，在满足一定的条件下，可以取任意多个，即 \(dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i\)。以下为完全背包的递推式：

\[\begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&= max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \end{split} \]

注：\(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}\) 是一个集合。对该集合进行 \(max()\) 后，目的是找到集合中的最大值。

虽然我们得到了完全背包的递推式，但是它很复杂，接下来对它进行变形。

\[\begin{split} dp[i + 1][j]&=max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge1\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+v_i+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}+v_i) \\ &=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i) \end{split} \]

由此，我们得到了完全背包的最终递推式：

\[\begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&=\begin{cases} dp[i][j]&,j<w_i \\ max\{dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i\}&,j\ge w_i \end{cases} \end{split} \]

注：\(dp[i+1][j-w_i]+v_i\) 是与01背包唯一不同的地方，即 \(i\) 变成了 \(i+1\)。

代码

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX]             // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[i + 1][j] = dp[i][j];
			else
				dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);   // 与01背包唯一的不同
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n][W]);
}