随笔分类 - Algorithm / 数学问题
摘要：一、算法简析 BSGS算法（Baby Step Giant Step），可以求解高次同余方程。 条件 正整数 \(a,b,p\)，且 \(a\) 与 \(p\) 互质，求满足 \(a^x\equiv b~(mod~p)\) 的最小非负整数 \(x\)。 化简 由拓展欧拉定理，得到 \[a^x\equ
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摘要：基础概念 欧拉定理 对于正整数 \(a\) 和 \(m\)，若满足 \(gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv1~(mod~m)\)。\(\varphi(m)\) 为 \(m\) 的欧拉函数。 拓展欧拉定理 在 \((mod~m)\) 的前提下， \[a^b\eq
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摘要：一、欧拉函数 定义 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数，称为欧拉函数，记为 \(\varphi(n)\)。 互质的定义：对于正整数 \(a\) 和 \(b\)，若 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(a\) 和 \(b\) 互质。 性质 若 \(p\) 是质数，则 \(\varp
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摘要：一、算法简析 线性筛，又叫欧拉筛，用来筛出 \([2,n]\) 中所有的质数。该算法比埃氏筛的效率更高，为线性 \(O(N)\)。 该算法也是从小到大枚举每个数，若该数没筛掉，则为质数。但是，筛数的规则不同：此时枚举的数是 \(i\)，无论是否是质数，枚举已知的质数 \(p_j\)， 合数 \(i
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摘要：一、拓展欧几里得算法 1.1 算法简析 根据裴蜀定理，对任意 \(a\) 和 \(b\)，一定存在 \(x\) 和 \(y\)，使 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)。拓展欧几里得算法不仅能求出 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，而且能找到一对 \((x, y)\)
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摘要：一、题目描述 P8754 [蓝桥杯 2021 省 AB2] 完全平方数 二、问题简析 2.1 唯一分解定理 唯一分解定理：大于1的自然数都可以唯一地写成素数的积。 由该定理，一个大于 \(1\) 的自然数 \(b\) 可以表示为 \(b=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}*...*a_n^{p_
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摘要：一、题目描述 P8646 [蓝桥杯 2017 省 AB] 包子凑数 二、题目简析 首先，要理解一个定理——裴蜀定理： 若任意整数 \(a\) 和 \(b\)，且有 \(m = \text{gcd}(a, b)\)，对任意整数 \(x\) 和 \(y\)，\(ax+by=c\)，则 \(m~|~c\)
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摘要：一、题目描述 P8741 [蓝桥杯 2021 省 B] 试题 C ：直线 二、算法简析 设两点 \(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\)。 斜率为： \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 斜截式为： \[\begin{split}
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摘要：一、预处理组合数 核心： \[C_a^b = C_{a-1}^b + C_{a-1}^{b-1} \]适用范围：\(a\) 较小的情况下，如 \(a \leq 10^3\)。 算法简析：令 \(\text{C[n][k]}=C_n^k\)，规定 \(\text{C[0][0] = 1}\)，则 \[
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摘要：法一：运用位运算简化计算 以 \(3^{22}\) 为例，它的底数为 \(3\)，指数为 \(22\)。指数的二进制形式为 10110。通过二进制与十进制的转换，我们可以把 \(22\) 分解为 \(22 = 2^4 * 2^2 * 2^1\)。因此，\(3^{22} = 3^{2^4} * 3^{
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摘要：一、模运算的定义 对于 \(\forall~a\in \mathbb{R},~m \in (0, +\infty)\)，求 \(a\) 除以 \(m\) 的余数的运算，就是取模运算，记作 \(a~mod~m\)。 规定 \(0 \leq a~mod~m \leq m - 1\)。若 \(a\) 为负
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摘要：一、素性判断 素数，又叫质数，是指一个整数，除了1和本身之外，还有其它的因数（注意：1不是素数）。因此，对于一个整数 \(n\)，我们只要检测 \([2, n - 1]\) 能否整除 \(n\)。 整除的定义：\(\exist\) \(a, b, k \in \mathbb{Z}\)，使得 \(a
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摘要：一、问题描述 P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题 二、问题简析 2.1 最大公约数 求两个正整数的最大公约数gcd (greatest common divisor)，最常用的方法是辗转相除法。 // 求a和b的最大公约数 int gcd(int a, int b)
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