随笔分类 - Algorithm
摘要：定义 对于数组 A[n]，它的差分数组为： \[diff[i]=\begin{cases} A[i],&i==0 \\ A[i]-A[i-1],&0<i<n \end{cases}\]显然，通过差分数组 diff[n]，可以求得 A[n] 中的某一具体元素： \[A[i]=\begin{cases}
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摘要：一、问题描述 P1020 [NOIP1999 提高组] 导弹拦截 二、问题简析 该题要我们求两个问题： 1、不上升子序列的最大长度 2、不上升子序列的最少个数 利用 \(Dilworth\) 定理，我们得到不上升子序列的最少个数等于上升子序列的最大长度。 现在，就是求这两个问题： 1、不上升子序列的
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摘要：一、题目描述 B3637 最长上升子序列 二、问题简析 2.1 法一：\(O(N^2)\) 令 \(dp[i]=\) 以 \(a_i\) 结尾的上升子序列的最大长度。 以 \(a_i\) 结尾的上升子序列有两种可能： 1、仅有 \(a_i\) 一个元素 2、在满足 \(j < i\) 且 \(a_j
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摘要：一、拓展欧几里得算法 1.1 算法简析 根据裴蜀定理，对任意 \(a\) 和 \(b\)，一定存在 \(x\) 和 \(y\)，使 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)。拓展欧几里得算法不仅能求出 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，而且能找到一对 \((x, y)\)
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摘要：一、题目描述 P8683 [蓝桥杯 2019 省 B] 后缀表达式 二、算法简析 显然，这道题要用贪心思想。想当然的，我们会先进行降序排序，将大的相加，在减去小的。然而，这种想法是错误的。因为这道题要求的是后缀表达式的最大值，为了便于理解，我们转换为中缀表达式的最大值，这里就有了一个隐含条件——中缀
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摘要：一、简析前缀和 有一系列元素 \(A[a_0,~a_1,~...,~a_n,~...]\)，前缀和 \(pre\_sum[n]=A[0]+A[1]+···+A[n]\)。 利用前缀和，我们可以很高效地得到 \([L,~R]\) 的区间和 \(\sum_{i=L}^{R}A[i]=pre\_sum[R
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摘要：一、单源最短路径 typedef long long ll; const int MAX = 2e3 + 5; const ll INF = numeric_limits<ll>::max(); typedef struct { int to, worth; } edge; int n, m; ve
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摘要：一、问题简述 有一棵 \(n\) 个节点组成的树，每个节点 \(a_i\) 有一个权值 \(a_i.worth\)。求子树的点权值和的最大值。 二、算法简析 该问题要用树形dp求解。 设 \(dp[u] =\) 以 \(u\) 为根节点的子树的点权值和的最大值。我们采用邻接表的形式存储边，\(G[u
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摘要：一、题目描述 P8741 [蓝桥杯 2021 省 B] 试题 C ：直线 二、算法简析 设两点 \(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\)。 斜率为： \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 斜截式为： \[\begin{split}
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摘要：一、算法原理 我们不直接比较字符串 \(S\) 的字串和模式串 \(T\) 是否相等，而是比较二者的哈希值。 设字符串 \(S\) 的长度为 \(l\)，字符串 \(T\) 的长度为 \(m\)。 取两个互素的常数 \(b\) 和 \(h\) (\(l < b < h\))，设字符串 \(C = c
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摘要：一、预处理组合数 核心： \[C_a^b = C_{a-1}^b + C_{a-1}^{b-1} \]适用范围：\(a\) 较小的情况下，如 \(a \leq 10^3\)。 算法简析：令 \(\text{C[n][k]}=C_n^k\)，规定 \(\text{C[0][0] = 1}\)，则 \[
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摘要：法一：运用位运算简化计算 以 \(3^{22}\) 为例，它的底数为 \(3\)，指数为 \(22\)。指数的二进制形式为 10110。通过二进制与十进制的转换，我们可以把 \(22\) 分解为 \(22 = 2^4 * 2^2 * 2^1\)。因此，\(3^{22} = 3^{2^4} * 3^{
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摘要：一、模运算的定义 对于 \(\forall~a\in \mathbb{R},~m \in (0, +\infty)\)，求 \(a\) 除以 \(m\) 的余数的运算，就是取模运算，记作 \(a~mod~m\)。 规定 \(0 \leq a~mod~m \leq m - 1\)。若 \(a\) 为负
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摘要：一、素性判断 素数，又叫质数，是指一个整数，除了1和本身之外，还有其它的因数（注意：1不是素数）。因此，对于一个整数 \(n\)，我们只要检测 \([2, n - 1]\) 能否整除 \(n\)。 整除的定义：\(\exist\) \(a, b, k \in \mathbb{Z}\)，使得 \(a
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摘要：一、问题描述 P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题 二、问题简析 2.1 最大公约数 求两个正整数的最大公约数gcd (greatest common divisor)，最常用的方法是辗转相除法。 // 求a和b的最大公约数 int gcd(int a, int b)
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摘要：一、问题描述 B3611 【模板】传递闭包 二、问题简析 首先，要弄清楚传递闭包的定义，由题意： 一张图的邻接矩阵定义为一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，其中 \[ a_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1,i\
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摘要：一、题目描述 P5960 【模板】差分约束 二、题目简析 差分约束问题的典型特征是一组不等式。只要画出约束图，这类问题都可以准换为最短路径问题。注意：约束图是有向图。 2.1 约束图的顶点 约束图的顶点（\(V\)） = 一个未知数对应一个顶点（\(v_1, v_2, ...,v_n\)） + 一个
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摘要：一、问题描述 P2865 [USACO06NOV] Roadblocks G 二、问题简析 如果求最短路径，我们很自然会想到 \(Dijkstra\)。但是，这道题要求的是次短路径。 记到 \(u\) 的最短路径为 \(d_1[u]\)，到 \(u\) 的次短路径为 \(d_2[u]\)。则 \(d
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摘要：问题描述 有一张 \(n\) 个顶点、\(m\) 条边的无向图，且是连通图，求最小生成树。 算法简析 \(Kruskal\) 是一种求最小生成树的算法。 设该图为 \(G = (V, E)\)。最小生成树即所求为 \(G_T = (V_T, E_T)\)，因为图是连通的，所以最小生成树会覆盖所有的顶
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摘要：一、并查集的概念 并查集是一种管理元素分组情况的数据结构，主要实现以下两个功能： 查询元素 \(a\) 和 \(b\) 是否在同一集合 合并元素 \(a\) 和 \(b\) 所在的集合 注：并查集只能进行合并操作，不能进行分割操作。 二、并查集的实现 一般，我们采用数组 par[] 和 height
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