1.7 相对论动力学基础

写在前面的一些废话

好的，我承认这两章存在赶进度的现象。
但在本章中，我会介绍著名的质能方程及其计算与运用。那我们就直接开始吧。

基本概念

比如有一个物体，当你把它放在地上不动时它的质量就是它应该有的质量即静质量\(m_0\)。

质量膨胀

接下来，我们来推导一下动质量的公式（证明方法很多，这里分享一种据说是爱因斯坦想出来的比较简单的方法）：
假设有两个小球\(a\)和\(a'\)，质量都为\(m_0\)，小球\(a\)在\(S系\)中，小球\(a'\)在\(S'系\)中，\(S'系\)相对\(S系\)沿\(x\)轴正向以速度\(v\)运动。
设\(a'\)相对\(S系\)的质量为\(m\)，根据相对性原理，\(a\)相对\(S'系\)的质量也为\(m\)。
假设两小球碰撞，并合为一体，相对\(S'系\)速度为\(u'\)，相对\(S系\)速度为\(u\)。

在两参照系中动量守恒定律当然都成立，所以得：
在\(S系\)中：\(P=m·v=(m+m_0)u\)
在\(S'系\)中：\(P=-m·v=(m+m_0)u'\)
根据相对性原理得：\(u'=-u\)
由速度合成公式\(v_x=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}\)
得：\((\frac{v}{u})^2-2\frac{v}{u}+(\frac{v}{c})^2=0\)
解得:\(\frac{v}{u}=1±\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
由于\(v>u\)，故\(\frac{v}{u}=1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)。
\(∴m=\frac{m_0}{\frac{v}{u}-1}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0·γ\)
我们整合一下，去掉复杂的背景：

\[\begin{aligned} P&=mv=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t_0}\\ &=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t} \times \frac{\Delta t}{\Delta t_0}\\ &=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t}·γ\\ &=m_0·γ \times \frac{\Delta x}{\Delta t}\\\ &=m_0·γ·v\\\\ m&=m_0·γ \end{aligned} \]

搞明白了我们就做一道题试试

例题一

某粒子，其总能是静能的3倍，求该粒子的速度。
解：

\[\begin{aligned} mc^2&=3m_0c^2\\ m&=3m_0\\ m_0γ&=3m_0\\ γ&=3\\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}&=3\\ u&≈0.943c \end{aligned} \]

智能方程

推导过程涉及部分微积分内容，看不懂的自觉绕行

\[\begin{aligned} E_k&=\int_{0}^{x}Fdx\\\\ Ft&=\int_{0}^{x}\frac{d}{dt}(mv)d(vt)=\int_{0}^{t}\frac{d}{dt}(mv)vdt\\ &=\int_{0}^{mv}\frac{dt}{dt}vd(mv)=\int_{0}^{v}vd\left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\\ &=\left[\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right]_{0}^{v}-\int_{0}^{v}\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dv\\ &=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2\\ &=mc^2-m_0c^2\\\\ E_k&=E-E_0=mc^2-m_0c^2\\ E_{\ }&=mc^2\\ E_0&=m_0c^2 \end{aligned} \]

综上：
在相对论中，静能：\(E_0=m_0c^2\)
　　　　　　动能：\(E_k=mc^2-m_0c^2\)
　　　　　　总能：\(E_{\ }=E_0+E_k=mc^2\)

质量亏损

质量亏损主要是研究反应前后体系粒子质量的变化，即有质量转化为能量时的损耗，先举一个例子：
还是有一个物体，它在反应前后的两个状态所含有的能量：
初状态：\(E_{初}=m_{0初}·c^2+E\)
末状态：\(E_{末}=m_{0末}·c^2+E'\)
（\(E\)和\(E'\)为该物体所含的各种能量，如内能、化学能、机械能等等）
由于能量守恒，可得：

\[\begin{aligned} E_{初}&=E_{末}\\ E'-E&=m_{0初}·c^2-m_{0末}·c^2\\ \Delta E&=\Delta m·c^2 \end{aligned} \]

你可能有了解到，理论上，核聚变反应的质能转化率为0.7%，核裂变则为0.135%，而正反物质湮灭则是100%，就是指被转化的质量占物体总质量的百分比。

例题二：核聚变

核裂变有60多个的可能的方程式，我们这里列举一个可能的方程式计算：

\[{^{235}_{\ 92}}\text{U}+{^{1}_{0}}\text{n}\rightarrow{^{141}_{\ 56}}\text{Ba}+{^{92}_{36}}\text{Kr}+3{^{1}_{0}}\text{n} \]

求\(1mol\ {^{235}_{\ 92}}\text{U}\)反应发出的能量
给出\(1mol\)各物质的质量

\[\underbrace{{^{235}_{\ 92}}\text{U}+{^{1}_{0}}\text{n}}_{236.133克}\rightarrow\underbrace{{^{141}_{\ 56}}\text{Ba}+{^{92}_{36}}\text{Kr}+3{^{1}_{0}}\text{n}}_{235.918克} \]

则该反应内
质量亏损\(\Delta m=0.215\text{克}\)
释放能量\(\Delta E=\Delta m·c^2=1.935\times 10^{13}\text{J}\)
所以这么多能量大概有多少呢，
差不多是完全燃烧\(650\)吨煤炭放出的能量吧（确实不太多）

例题三：太阳

太阳每秒向宇宙辐射\(3.8\times 10^{36}\text{J}\)的能量，求太阳每秒的质量亏损。
解：
\(\Delta m=\frac{\Delta t}{c^2}=\frac{3.8\times 10^{36}}{\left (3\times 10^8\right )^2}=4.2\times 10^9\text{kg}\)
也就是说太阳每秒钟核聚变反应了\(420\)万吨的燃料
那可不是烧了两天就烧没了？
当然肯定不是，科学家预测至少再少\(50\)亿年才会烧完

例题四：烧水

\(5kg\)的水，由\(20℃\)加热到\(100℃\)，求这些水的质量增加量\(\Delta m\)
这题就……怎么说呢……很有实用性……
解：
\(\Delta m·c^2=4200\times 5\times 80\)
\(\Delta m=1.87\times 10^{-11}kg\)
也就是\(0.187\)微微克……