1.6.1 洛伦兹速度变换

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写在前面的一些废话

看到这个题目，你可能会问：啥是洛伦兹速度变换？
某百科上对变换的解释是用同类之物交换或代替，在这里我们是指位置与时间的关系与因为高速而发生的变划，所以我们只在相对论中讨论时间的变化。而速度变换则是在高速中，某速度相对另一参照系速度的变换（这里全是我写的，所以很不严谨，如有建议请提出，谢谢！）

洛伦兹速度变换

假设有两个参照系，其中$S系$静止，$S'系$以相对$S系u$的速度运动。在$t=t'=0$时，$O$与$O'$重合，在$S'系$中物体沿$x'$轴从$O'$以速度$v'$正向运动，经过时间$t'$后，该物体到达$x'=v't'$，那么在$S系$中，该物体的运动速度为什么？

这个问题需要讨论两个问题：位置的变换和时间的变换（即我们之前讲过的爱因斯坦延缓）
在$S系$中：
$x=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γ$
$t=(t'+\frac{u}{c^2}x')·γ$
$=(t'+\frac{u}{c^2}v'·t')·γ$
$=(1+\frac{u}{c^2}v')·t'·γ$
按照正常的速度=路程÷时间我们可以得出：
$v=\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}$
这就是洛伦兹速度变换逆变换
将这个式子翻一下即可得出正变换：
$v'=\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\frac{u}{c^2}v'}$
那么如果$u<<c$（“$<<$”为远小于），$\frac{u}{c^2}$就会趋近于$0$

$$则\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right.$$

就是我们了解的伽利略变换体系了
那我们就不啰嗦了，直接给出

完整的洛伦兹速度变换公式

（$S'系$相对$S系$沿$x轴$方向以速度$u$运动）

$$\begin{aligned} &正变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} \\ &v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \\ &v_z'=\frac{v_z}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ &逆变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'} \\ &v_y=v_y'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \\ &v_z=v_z'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \end{aligned} \end{matrix} \right. \end{aligned}$$

既然得到了这惊天地泣鬼神的神奇公式，那我们就做几道例题，夯实你的学习成果吧

例题一（纯套公式）

这道题是我很早以前就写好了的，并向我的一位同学讲过写相对论随笔的设想，他表示如果写到这里时知名度较高的话可以打一点广告，以下摘自他的手稿（很遗憾这位同学已经转到我们学校的其他校区了，可能看不到这篇文章了）：

XX空运公司飞机以$u=0.6c$相对地面飞行，XX快递，使命必达。飞机上，一XX挖掘机公司职员，就是专业，向前扔出一瓶XX饮料。XX饮料，一天一罐，让自然的智慧充满聪明的你……
……emm……

飞船以$u=0.6c$相对地面飞行，宇航员向前发射了一颗子弹，相对船速$0.8c$，求地面观测到的子弹速度。
解：
像往常一样列一张表：

地面$S系$	飞船$S'系$	$u=0.6c$
$v$	$v'=0.8c$
$v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}=\frac{0.8c+0.6c}{1+\frac{0.6c}{c^2}·0.8c}=0.946c$

例题二（纯套公式）

两飞船甲、乙相向飞行，分别以相对地面$v_甲=0.6c$与$v_乙=0.8c$的速度运动，求甲观测到的乙飞船的速度

解：
$v'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}≈-0.946c$

例题三（送分题）

飞船$u=0.6c$，掠过地面，宇航员向飞船前后各发射一束激光，求地面观测到这两束激光的速度。
解：
好吧，我承认这题是来搞笑的，在 1.1 狭义相对论基本假设 中我们就讲过光速不变原理，所以激光速度肯定为$c$
不管怎样，我们来套一下公式：
飞船（$S'系$）中，
　　向前的激光 $v'=c$
　　向后的激光 $v"=-c$
地面（$S系$）中，
　　向前的激光 $v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}·v'}=c$
　　向后的激光 $v=\frac{v"+u}{1+\frac{u}{c^2}·v"}=-c$
咳咳，所以这个公式是正确的至少没有与相对论本身相矛盾

例题四

在地面参考系内，有两飞船A、B
飞船A以$0.8c$的速度向北运动
飞船A以$0.6c$的速度向西运动
求飞船A相对飞船B的速度
解：
对地面（$S系$）来说：
　　A：$v_x=0$　$v_y=0.8c$　B：$u=-0.6c$
对B（$S'系$）来说：
　　$v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c$
　　$v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ}=0.64c$
在高中里，你们（我是初中生）学过速度是一个矢量，合速度就是将两个分速度合成一下就好了。本题中的两个速度很友善地互相垂直，所以直接套勾股定理就好了：
$v'=\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}≈0.877c$