1.6.1 洛伦兹速度变换

本文将不再进行维护，如需查看最新版请点击链接https://www.cnblogs.com/howardzhangdqs/p/rtor.html#61-洛伦兹速度变换

写在前面的一些废话

看到这个题目，你可能会问：啥是洛伦兹速度变换？
某百科上对变换的解释是用同类之物交换或代替，在这里我们是指位置与时间的关系与因为高速而发生的变划，所以我们只在相对论中讨论时间的变化。而速度变换则是在高速中，某速度相对另一参照系速度的变换（这里全是我写的，所以很不严谨，如有建议请提出，谢谢！）

洛伦兹速度变换

假设有两个参照系，其中\(S系\)静止，\(S'系\)以相对\(S系u\)的速度运动。在\(t=t'=0\)时，\(O\)与\(O'\)重合，在\(S'系\)中物体沿\(x'\)轴从\(O'\)以速度\(v'\)正向运动，经过时间\(t'\)后，该物体到达\(x'=v't'\)，那么在\(S系\)中，该物体的运动速度为什么？

这个问题需要讨论两个问题：位置的变换和时间的变换（即我们之前讲过的爱因斯坦延缓）
在\(S系\)中：
\(x=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γ\)
\(t=(t'+\frac{u}{c^2}x')·γ\)
\(=(t'+\frac{u}{c^2}v'·t')·γ\)
\(=(1+\frac{u}{c^2}v')·t'·γ\)
按照正常的速度=路程÷时间我们可以得出：
\(v=\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}\)
这就是洛伦兹速度变换逆变换
将这个式子翻一下即可得出正变换：
\(v'=\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\frac{u}{c^2}v'}\)
那么如果\(u<<c\)（“\(<<\)”为远小于），\(\frac{u}{c^2}\)就会趋近于\(0\)

\[则\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right. \]

就是我们了解的伽利略变换体系了
那我们就不啰嗦了，直接给出

完整的洛伦兹速度变换公式

（\(S'系\)相对\(S系\)沿\(x轴\)方向以速度\(u\)运动）

\[\begin{aligned} &正变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} \\ &v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \\ &v_z'=\frac{v_z}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ &逆变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'} \\ &v_y=v_y'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \\ &v_z=v_z'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \end{aligned} \end{matrix} \right. \end{aligned} \]

既然得到了这惊天地泣鬼神的神奇公式，那我们就做几道例题，夯实你的学习成果吧

例题一（纯套公式）

这道题是我很早以前就写好了的，并向我的一位同学讲过写相对论随笔的设想，他表示如果写到这里时知名度较高的话可以打一点广告，以下摘自他的手稿（很遗憾这位同学已经转到我们学校的其他校区了，可能看不到这篇文章了）：

XX空运公司飞机以\(u=0.6c\)相对地面飞行，XX快递，使命必达。飞机上，一XX挖掘机公司职员，就是专业，向前扔出一瓶XX饮料。XX饮料，一天一罐，让自然的智慧充满聪明的你……
……emm……

飞船以\(u=0.6c\)相对地面飞行，宇航员向前发射了一颗子弹，相对船速\(0.8c\)，求地面观测到的子弹速度。
解：
像往常一样列一张表：

地面\(S系\)	飞船\(S'系\)	\(u=0.6c\)
\(v\)	\(v'=0.8c\)
\(v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}=\frac{0.8c+0.6c}{1+\frac{0.6c}{c^2}·0.8c}=0.946c\)

例题二（纯套公式）

两飞船甲、乙相向飞行，分别以相对地面\(v_甲=0.6c\)与\(v_乙=0.8c\)的速度运动，求甲观测到的乙飞船的速度

解：
\(v'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}≈-0.946c\)

例题三（送分题）

飞船\(u=0.6c\)，掠过地面，宇航员向飞船前后各发射一束激光，求地面观测到这两束激光的速度。
解：
好吧，我承认这题是来搞笑的，在 1.1 狭义相对论基本假设 中我们就讲过光速不变原理，所以激光速度肯定为\(c\)
不管怎样，我们来套一下公式：
飞船（\(S'系\)）中，
　　向前的激光 \(v'=c\)
　　向后的激光 \(v"=-c\)
地面（\(S系\)）中，
　　向前的激光 \(v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}·v'}=c\)
　　向后的激光 \(v=\frac{v"+u}{1+\frac{u}{c^2}·v"}=-c\)
咳咳，所以这个公式是正确的至少没有与相对论本身相矛盾

例题四

在地面参考系内，有两飞船A、B
飞船A以\(0.8c\)的速度向北运动
飞船A以\(0.6c\)的速度向西运动
求飞船A相对飞船B的速度
解：
对地面（\(S系\)）来说：
　　A：\(v_x=0\)　\(v_y=0.8c\)　B：\(u=-0.6c\)
对B（\(S'系\)）来说：
　　\(v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c\)
　　\(v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ}=0.64c\)
在高中里，你们（我是初中生）学过速度是一个矢量，合速度就是将两个分速度合成一下就好了。本题中的两个速度很友善地互相垂直，所以直接套勾股定理就好了：
\(v'=\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}≈0.877c\)