组合双射题选做

problems

13.

\[\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}=4^n \]

不会做。

15.

\[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^k = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j}\binom{2n-j}{n}(x-1)^j \]

我的做法是考虑吧右边的 \((x-1)^j\) 先拆开，然后相当于一个容斥，证明每一个 \(x^k\) 前面的系数相同。

注意到左边是 \(2n\) 个里面选 \(n\) 个，前 \(n\) 个里面要恰好选 \(k\) 个。

右边变换一下得到

\[\binom{n}{j}\binom{2n-j}{n-j}\binom{j}{k} \]

那就是至少选 \(j\) 个的容斥了。

官方解答更高妙一点，考虑左边是 \(2n\) 里面选 \(n\) 个，然后左边选了的要染 \([1,x]\) 中的一个颜色。

不妨钦定右边选的染成颜色 \(1\) 。

对于右边，枚举左边染成非 \(1\) 的个数是 \(j\) 即可。

16.

能做，能做，能做？

21.

用组合意义证明费马小定理。

考虑 \(p\) 是质数在组合中有啥用，发现是环染色问题的同构只需要考虑全部颜色相同。

\(a^p\) 表示 \(p\) 个球，每个球染 \(a\) 种颜色的方案。

减去所有颜色相同，那么剩下的同构就是 \(p\) 个一组了。

因此 \(p|(a^p-a)\)。

22.a

\[p|\binom{2p}{p}-2(p\in \text{prime}) \]

类似，考虑两个长度为 \(p\) 的序列填 \(p\) 个 \(1\)，\(p\) 个 \(0\) 。

把颜色相同的两个方案去掉，然后两个分开转即可。

23.

证明威尔逊定理。

有点高妙，考虑 \((p-1)!\) 就是确定 \(a_1=1\) 后长度为 \(p\) 的排列数。

高妙的是，用这个排列对应 \(n\) 个围成一圈的顶点的一个连边方案。

然后拿这个多边形去转即可。