磁暴科技：三角函数变化形象理解。

先看一个接单题：

• 化简 \(\sin x+\sin(\frac{2}{3}\pi+x)\)。

右边暴力拆一下就可以得到答案是 \(\sin (x+\frac{\pi}{3})\) 。

但是这非常优美，多个加起来就不太好化简。

此时一个很牛的科技是，注意到由于：

\[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a \]

我们钦定一个直角坐标系，横坐标表示 \(\sin x\)，纵坐标表示 \(\cos x\)，那么就把所有 \(A\sin (x+\varphi)\) 都表示为这个坐标系上的一个向量，这个向量的角度就是 \(\varphi\)。

比如 \(\sin x\) 就是 \((1,0)\)，\(\sin (\frac{2}{3}\pi +x)\) 就是 \((-1/2,\frac{\sqrt{3}}{2})\) 。

然后惊人地发现，函数相加可以直接表示为向量相加，因为三角函数为线性变换。

那就因此直接向量加一下就可以得到需要转的角度了。

其实就是一个三角函数的拆分，但是非常形象。

\(A\) 的影响就是，向量模长去乘以 \(A\) 即可。

这样做起来就非常快，比如说：

\[\sin x+2\sin(\frac{2}{3}\pi+x)=\sqrt{3} \cos x \]

还能用这个来证明和差化积。